Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnat Unicode version

Theorem ltrnat 30329
Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 30328 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrnel.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)

Proof of Theorem ltrnat
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  P  e.  A )
2 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 ltrnel.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29479 . . 3  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
5 ltrnel.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 ltrnel.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
72, 3, 5, 6ltrnatb 30326 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
84, 7syl3an3 1217 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
91, 8mpbid 201 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290
This theorem is referenced by:  ltrncoat  30333  trlcnv  30354  trljat2  30356  trlat  30358  trlval3  30376  trlval4  30377  cdlemc3  30382  cdlemc5  30384  cdlemg2kq  30791  cdlemg9a  30821  cdlemg9  30823  cdlemg10bALTN  30825  cdlemg10c  30828  cdlemg10a  30829  cdlemg10  30830  cdlemg12a  30832  cdlemg12c  30834  cdlemg13a  30840  cdlemg17a  30850  cdlemg17g  30856  cdlemg18a  30867  cdlemg18b  30868  cdlemg18c  30869  trlcoabs2N  30911  trlcolem  30915  cdlemg42  30918  cdlemi  31009  cdlemk3  31022  cdlemk4  31023  cdlemk6  31026  cdlemk9  31028  cdlemk9bN  31029  cdlemk10  31032  cdlemksat  31035  cdlemk7  31037  cdlemk12  31039  cdlemkole  31042  cdlemk14  31043  cdlemk15  31044  cdlemk17  31047  cdlemk5u  31050  cdlemk6u  31051  cdlemkuat  31055  cdlemk7u  31059  cdlemk12u  31061  cdlemk37  31103  cdlemk39  31105  cdlemkfid1N  31110  cdlemk47  31138  cdlemk48  31139  cdlemk50  31141  cdlemk51  31142  cdlemk52  31143  cdlemm10N  31308
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-plt 14092  df-glb 14109  df-p0 14145  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-hlat 29541  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294
  Copyright terms: Public domain W3C validator