Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnat Structured version   Unicode version

Theorem ltrnat 31011
Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 31010 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrnel.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)

Proof of Theorem ltrnat
StepHypRef Expression
1 simp3 960 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  P  e.  A )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 ltrnel.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 30161 . . 3  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
5 ltrnel.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 ltrnel.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
72, 3, 5, 6ltrnatb 31008 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
84, 7syl3an3 1220 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
91, 8mpbid 203 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5457   Basecbs 13474   lecple 13541   Atomscatm 30135   HLchlt 30222   LHypclh 30855   LTrncltrn 30972
This theorem is referenced by:  ltrncoat  31015  trlcnv  31036  trljat2  31038  trlat  31040  trlval3  31058  trlval4  31059  cdlemc3  31064  cdlemc5  31066  cdlemg2kq  31473  cdlemg9a  31503  cdlemg9  31505  cdlemg10bALTN  31507  cdlemg10c  31510  cdlemg10a  31511  cdlemg10  31512  cdlemg12a  31514  cdlemg12c  31516  cdlemg13a  31522  cdlemg17a  31532  cdlemg17g  31538  cdlemg18a  31549  cdlemg18b  31550  cdlemg18c  31551  trlcoabs2N  31593  trlcolem  31597  cdlemg42  31600  cdlemi  31691  cdlemk3  31704  cdlemk4  31705  cdlemk6  31708  cdlemk9  31710  cdlemk9bN  31711  cdlemk10  31714  cdlemksat  31717  cdlemk7  31719  cdlemk12  31721  cdlemkole  31724  cdlemk14  31725  cdlemk15  31726  cdlemk17  31729  cdlemk5u  31732  cdlemk6u  31733  cdlemkuat  31737  cdlemk7u  31741  cdlemk12u  31743  cdlemk37  31785  cdlemk39  31787  cdlemkfid1N  31792  cdlemk47  31820  cdlemk48  31821  cdlemk50  31823  cdlemk51  31824  cdlemk52  31825  cdlemm10N  31990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-undef 6546  df-riota 6552  df-map 7023  df-plt 14420  df-glb 14437  df-p0 14473  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-hlat 30223  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976
  Copyright terms: Public domain W3C validator