Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnat Unicode version

Theorem ltrnat 30388
Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 30387 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrnel.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)

Proof of Theorem ltrnat
StepHypRef Expression
1 simp3 958 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  P  e.  A )
2 eqid 2366 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 ltrnel.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29538 . . 3  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
5 ltrnel.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 ltrnel.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
72, 3, 5, 6ltrnatb 30385 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
84, 7syl3an3 1218 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
91, 8mpbid 201 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   ` cfv 5358   Basecbs 13356   lecple 13423   Atomscatm 29512   HLchlt 29599   LHypclh 30232   LTrncltrn 30349
This theorem is referenced by:  ltrncoat  30392  trlcnv  30413  trljat2  30415  trlat  30417  trlval3  30435  trlval4  30436  cdlemc3  30441  cdlemc5  30443  cdlemg2kq  30850  cdlemg9a  30880  cdlemg9  30882  cdlemg10bALTN  30884  cdlemg10c  30887  cdlemg10a  30888  cdlemg10  30889  cdlemg12a  30891  cdlemg12c  30893  cdlemg13a  30899  cdlemg17a  30909  cdlemg17g  30915  cdlemg18a  30926  cdlemg18b  30927  cdlemg18c  30928  trlcoabs2N  30970  trlcolem  30974  cdlemg42  30977  cdlemi  31068  cdlemk3  31081  cdlemk4  31082  cdlemk6  31085  cdlemk9  31087  cdlemk9bN  31088  cdlemk10  31091  cdlemksat  31094  cdlemk7  31096  cdlemk12  31098  cdlemkole  31101  cdlemk14  31102  cdlemk15  31103  cdlemk17  31106  cdlemk5u  31109  cdlemk6u  31110  cdlemkuat  31114  cdlemk7u  31118  cdlemk12u  31120  cdlemk37  31162  cdlemk39  31164  cdlemkfid1N  31169  cdlemk47  31197  cdlemk48  31198  cdlemk50  31200  cdlemk51  31201  cdlemk52  31202  cdlemm10N  31367
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-undef 6440  df-riota 6446  df-map 6917  df-plt 14302  df-glb 14319  df-p0 14355  df-oposet 29425  df-ol 29427  df-oml 29428  df-covers 29515  df-ats 29516  df-hlat 29600  df-lhyp 30236  df-laut 30237  df-ldil 30352  df-ltrn 30353
  Copyright terms: Public domain W3C validator