Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnat Unicode version

Theorem ltrnat 30626
Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 30625 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrnel.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)

Proof of Theorem ltrnat
StepHypRef Expression
1 simp3 959 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  P  e.  A )
2 eqid 2408 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 ltrnel.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 29776 . . 3  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
5 ltrnel.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 ltrnel.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
72, 3, 5, 6ltrnatb 30623 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
84, 7syl3an3 1219 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
91, 8mpbid 202 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5417   Basecbs 13428   lecple 13495   Atomscatm 29750   HLchlt 29837   LHypclh 30470   LTrncltrn 30587
This theorem is referenced by:  ltrncoat  30630  trlcnv  30651  trljat2  30653  trlat  30655  trlval3  30673  trlval4  30674  cdlemc3  30679  cdlemc5  30681  cdlemg2kq  31088  cdlemg9a  31118  cdlemg9  31120  cdlemg10bALTN  31122  cdlemg10c  31125  cdlemg10a  31126  cdlemg10  31127  cdlemg12a  31129  cdlemg12c  31131  cdlemg13a  31137  cdlemg17a  31147  cdlemg17g  31153  cdlemg18a  31164  cdlemg18b  31165  cdlemg18c  31166  trlcoabs2N  31208  trlcolem  31212  cdlemg42  31215  cdlemi  31306  cdlemk3  31319  cdlemk4  31320  cdlemk6  31323  cdlemk9  31325  cdlemk9bN  31326  cdlemk10  31329  cdlemksat  31332  cdlemk7  31334  cdlemk12  31336  cdlemkole  31339  cdlemk14  31340  cdlemk15  31341  cdlemk17  31344  cdlemk5u  31347  cdlemk6u  31348  cdlemkuat  31352  cdlemk7u  31356  cdlemk12u  31358  cdlemk37  31400  cdlemk39  31402  cdlemkfid1N  31407  cdlemk47  31435  cdlemk48  31436  cdlemk50  31438  cdlemk51  31439  cdlemk52  31440  cdlemm10N  31605
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-undef 6506  df-riota 6512  df-map 6983  df-plt 14374  df-glb 14391  df-p0 14427  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-hlat 29838  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591
  Copyright terms: Public domain W3C validator