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Theorem ltrnatb 30948
Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnatb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ltrnatb.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnatb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnatb.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnatb  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )

Proof of Theorem ltrnatb
StepHypRef Expression
1 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  P  e.  B )
2 ltrnatb.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 ltrnatb.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 ltrnatb.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrncl 30936 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( F `  P )  e.  B
)
61, 52thd 231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( P  e.  B  <->  ( F `  P )  e.  B
) )
7 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simp2 956 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  F  e.  T )
9 simp1l 979 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  K  e.  HL )
10 hlop 30174 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
11 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
122, 11op0cl 29996 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 0. `  K )  e.  B )
139, 10, 123syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( 0. `  K )  e.  B
)
14 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
152, 14, 3, 4ltrncvr 30944 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( 0. `  K )  e.  B  /\  P  e.  B
) )  ->  (
( 0. `  K
) (  <o  `  K
) P  <->  ( F `  ( 0. `  K
) ) (  <o  `  K ) ( F `
 P ) ) )
167, 8, 13, 1, 15syl112anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) P  <-> 
( F `  ( 0. `  K ) ) (  <o  `  K )
( F `  P
) ) )
179, 10syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  K  e.  OP )
18 simp1r 980 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  W  e.  H )
192, 3lhpbase 30809 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2018, 19syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  W  e.  B )
21 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
222, 21, 11op0le 29998 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  ( 0. `  K
) ( le `  K ) W )
2317, 20, 22syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( 0. `  K ) ( le
`  K ) W )
242, 21, 3, 4ltrnval1 30945 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( 0. `  K )  e.  B  /\  ( 0. `  K
) ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  ( 0. `  K
) )  =  ( 0. `  K ) )
257, 8, 13, 23, 24syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( F `  ( 0. `  K
) )  =  ( 0. `  K ) )
2625breq1d 4049 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( F `  ( 0. `  K ) ) ( 
<o  `  K ) ( F `  P )  <-> 
( 0. `  K
) (  <o  `  K
) ( F `  P ) ) )
2716, 26bitrd 244 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) P  <-> 
( 0. `  K
) (  <o  `  K
) ( F `  P ) ) )
286, 27anbi12d 691 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( P  e.  B  /\  ( 0. `  K ) (  <o  `  K ) P )  <->  ( ( F `  P )  e.  B  /\  ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) ( F `  P ) ) ) )
29 ltrnatb.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
302, 11, 14, 29isat 30098 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  ( P  e.  A  <->  ( P  e.  B  /\  ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) P ) ) )
319, 30syl 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( P  e.  B  /\  ( 0.
`  K ) ( 
<o  `  K ) P ) ) )
322, 11, 14, 29isat 30098 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( F `  P
)  e.  A  <->  ( ( F `  P )  e.  B  /\  ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) ( F `  P ) ) ) )
339, 32syl 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( F `  P )  e.  A  <->  ( ( F `
 P )  e.  B  /\  ( 0.
`  K ) ( 
<o  `  K ) ( F `  P ) ) ) )
3428, 31, 333bitr4d 276 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   0.cp0 14159   OPcops 29984    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LTrncltrn 30912
This theorem is referenced by:  ltrncnvatb  30949  ltrnel  30950  ltrnat  30951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-plt 14108  df-glb 14125  df-p0 14161  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-hlat 30163  df-lhyp 30799  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916
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