Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncl Unicode version

Theorem ltrncl 30240
Description: Closure of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ltrn1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrn1o.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrncl  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)

Proof of Theorem ltrncl
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  K  e.  V )
2 ltrn1o.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2388 . . . 4  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
4 ltrn1o.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrnlaut 30238 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
653adant3 977 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
7 simp3 959 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  X  e.  B )
8 ltrn1o.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
98, 3lautcl 30202 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  ( LAut `  K ) )  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
101, 6, 7, 9syl21anc 1183 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5395   Basecbs 13397   LHypclh 30099   LAutclaut 30100   LTrncltrn 30216
This theorem is referenced by:  ltrnatb  30252  ltrneq2  30263  trlval2  30278  trlcl  30279  trljat1  30281  trljat2  30282  trlle  30299  cdlemc4  30309  cdlemc5  30310  cdlemd7  30319  cdlemg4c  30727  cdlemg7N  30741  cdlemg8b  30743  cdlemg11b  30757  trlcolem  30841  cdlemg44a  30846  cdlemi1  30933  cdlemi  30935  cdlemkvcl  30957  cdlemkid1  31037  cdlemm10N  31234  dih1dimatlem  31445
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-map 6957  df-laut 30104  df-ldil 30219  df-ltrn 30220
  Copyright terms: Public domain W3C validator