Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncl Unicode version

Theorem ltrncl 30314
Description: Closure of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ltrn1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrn1o.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrncl  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)

Proof of Theorem ltrncl
StepHypRef Expression
1 simp1l 979 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  K  e.  V )
2 ltrn1o.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
4 ltrn1o.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrnlaut 30312 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
653adant3 975 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
7 simp3 957 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  X  e.  B )
8 ltrn1o.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
98, 3lautcl 30276 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  ( LAut `  K ) )  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
101, 6, 7, 9syl21anc 1181 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255   Basecbs 13148   LHypclh 30173   LAutclaut 30174   LTrncltrn 30290
This theorem is referenced by:  ltrnatb  30326  ltrneq2  30337  trlval2  30352  trlcl  30353  trljat1  30355  trljat2  30356  trlle  30373  cdlemc4  30383  cdlemc5  30384  cdlemd7  30393  cdlemg4c  30801  cdlemg7N  30815  cdlemg8b  30817  cdlemg11b  30831  trlcolem  30915  cdlemg44a  30920  cdlemi1  31007  cdlemi  31009  cdlemkvcl  31031  cdlemkid1  31111  cdlemm10N  31308  dih1dimatlem  31519
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294
  Copyright terms: Public domain W3C validator