Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncl Structured version   Unicode version

Theorem ltrncl 30859
Description: Closure of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrn1o.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ltrn1o.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrn1o.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrncl  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)

Proof of Theorem ltrncl
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  K  e.  V )
2 ltrn1o.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2435 . . . 4  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
4 ltrn1o.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrnlaut 30857 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
653adant3 977 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
7 simp3 959 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  X  e.  B )
8 ltrn1o.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
98, 3lautcl 30821 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  F  e.  ( LAut `  K ) )  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
101, 6, 7, 9syl21anc 1183 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  X  e.  B
)  ->  ( F `  X )  e.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446   Basecbs 13461   LHypclh 30718   LAutclaut 30719   LTrncltrn 30835
This theorem is referenced by:  ltrnatb  30871  ltrneq2  30882  trlval2  30897  trlcl  30898  trljat1  30900  trljat2  30901  trlle  30918  cdlemc4  30928  cdlemc5  30929  cdlemd7  30938  cdlemg4c  31346  cdlemg7N  31360  cdlemg8b  31362  cdlemg11b  31376  trlcolem  31460  cdlemg44a  31465  cdlemi1  31552  cdlemi  31554  cdlemkvcl  31576  cdlemkid1  31656  cdlemm10N  31853  dih1dimatlem  32064
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-laut 30723  df-ldil 30838  df-ltrn 30839
  Copyright terms: Public domain W3C validator