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Theorem ltrncnv 31017
Description: The converse of a lattice translation is a lattice translation. (Contributed by NM, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncnv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrncnv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrncnv  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )

Proof of Theorem ltrncnv
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrncnv.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( (
LDil `  K ) `  W )  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
3 ltrncnv.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
41, 2, 3ltrnldil 30993 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
51, 2ldilcnv 30986 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)  ->  `' F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
64, 5syldan 458 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
7 simp1 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T ) )
8 simp1l 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 simp1r 983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  F  e.  T )
10 simp2l 984 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
11 simp3l 986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  -.  p
( le `  K
) W )
12 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
13 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
1412, 13, 1, 3ltrncnvel 31013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  p ) ( le `  K
) W ) )
158, 9, 10, 11, 14syl112anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  p ) ( le `  K
) W ) )
16 simp2r 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  q  e.  ( Atoms `  K )
)
17 simp3r 987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  -.  q
( le `  K
) W )
1812, 13, 1, 3ltrncnvel 31013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  q ) ( le `  K
) W ) )
198, 9, 16, 17, 18syl112anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  q ) ( le `  K
) W ) )
20 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
21 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
2212, 20, 21, 13, 1, 3ltrnu 30992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
( `' F `  p )  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  ( `' F `  p ) ( le
`  K ) W )  /\  ( ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  q ) ( le `  K
) W ) )  ->  ( ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  p ) ) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) ) ( meet `  K ) W ) )
237, 15, 19, 22syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
( `' F `  p ) ( join `  K ) ( F `
 ( `' F `  p ) ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) ) ( meet `  K ) W ) )
24 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2524, 1, 3ltrn1o 30995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
26253ad2ant1 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
2724, 13atbase 30161 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
2810, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
29 f1ocnvfv2 6018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  p  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( F `  ( `' F `  p ) )  =  p )
3026, 28, 29syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  ( `' F `  p ) )  =  p )
3130oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  p ) ) )  =  ( ( `' F `  p ) ( join `  K ) p ) )
32 simp1ll 1021 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  K  e.  HL )
3312, 13, 1, 3ltrncnvat 31012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( `' F `  p )  e.  (
Atoms `  K ) )
348, 9, 10, 33syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K )
)
3520, 13hlatjcom 30239 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) p )  =  ( p ( join `  K ) ( `' F `  p ) ) )
3632, 34, 10, 35syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) p )  =  ( p ( join `  K ) ( `' F `  p ) ) )
3731, 36eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  p ) ) )  =  ( p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) )
3837oveq1d 6099 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
( `' F `  p ) ( join `  K ) ( F `
 ( `' F `  p ) ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( p (
join `  K )
( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W ) )
3924, 13atbase 30161 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  ( Base `  K )
)
4016, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  q  e.  ( Base `  K )
)
41 f1ocnvfv2 6018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( F `  ( `' F `  q ) )  =  q )
4226, 40, 41syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  ( `' F `  q ) )  =  q )
4342oveq2d 6100 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) )  =  ( ( `' F `  q ) ( join `  K ) q ) )
4412, 13, 1, 3ltrncnvat 31012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( `' F `  q )  e.  (
Atoms `  K ) )
458, 9, 16, 44syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K )
)
4620, 13hlatjcom 30239 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) q )  =  ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) )
4732, 45, 16, 46syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) q )  =  ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) )
4843, 47eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) )  =  ( q ( join `  K
) ( `' F `  q ) ) )
4948oveq1d 6099 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
( `' F `  q ) ( join `  K ) ( F `
 ( `' F `  q ) ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( q (
join `  K )
( `' F `  q ) ) (
meet `  K ) W ) )
5023, 38, 493eqtr3d 2478 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) )
51503exp 1153 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  ( ( p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) ) ) )
5251ralrimivv 2799 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q
( le `  K
) W )  -> 
( ( p (
join `  K )
( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) ) )
5312, 20, 21, 13, 1, 2, 3isltrn 30990 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( `' F  e.  T  <->  ( `' F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )  /\  A. p  e.  (
Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  p ( le
`  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  (
( p ( join `  K ) ( `' F `  p ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( q (
join `  K )
( `' F `  q ) ) (
meet `  K ) W ) ) ) ) )
5453adantr 453 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( `' F  e.  T  <->  ( `' F  e.  ( ( LDil `  K ) `  W )  /\  A. p  e.  ( Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K )
( ( -.  p
( le `  K
) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  ( ( p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) ) ) ) )
556, 52, 54mpbir2and 890 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   class class class wbr 4215   `'ccnv 4880   -1-1-onto->wf1o 5456   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   lecple 13541   joincjn 14406   meetcmee 14407   Atomscatm 30135   HLchlt 30222   LHypclh 30855   LDilcldil 30971   LTrncltrn 30972
This theorem is referenced by:  trlcnv  31036  trlcocnv  31591  trlcoabs2N  31593  trlcoat  31594  trlcocnvat  31595  trlcone  31599  cdlemg46  31606  tgrpgrplem  31620  tendoicl  31667  cdlemh1  31686  cdlemh2  31687  cdlemh  31688  cdlemi2  31690  cdlemi  31691  cdlemk2  31703  cdlemk3  31704  cdlemk4  31705  cdlemk8  31709  cdlemk9  31710  cdlemk9bN  31711  cdlemkvcl  31713  cdlemk10  31714  cdlemk11  31720  cdlemk12  31721  cdlemk14  31725  cdlemk11u  31742  cdlemk12u  31743  cdlemk37  31785  cdlemkfid1N  31792  cdlemkid1  31793  cdlemkid2  31795  tendocnv  31893  tendospcanN  31895  dvhgrp  31979  cdlemn8  32076  dihopelvalcpre  32120  dih1  32158  dihglbcpreN  32172  dihjatcclem3  32292  dihjatcclem4  32293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-map 7023  df-poset 14408  df-plt 14420  df-glb 14437  df-join 14438  df-p0 14473  df-lat 14480  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-lhyp 30859  df-laut 30860  df-ldil 30975  df-ltrn 30976
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