Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncoat Structured version   Unicode version

Theorem ltrncoat 31003
Description: Composition of lattice translations of an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 30998, ltrnat 30999 uses. (Contributed by NM, 1-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrnel.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrncoat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )

Proof of Theorem ltrncoat
StepHypRef Expression
1 simp1 958 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2l 984 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  F  e.  T )
3 ltrnel.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 ltrnel.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 ltrnel.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 ltrnel.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
73, 4, 5, 6ltrnat 30999 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
873adant2l 1179 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  ( G `  P )  e.  A )
93, 4, 5, 6ltrnat 30999 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( G `  P
)  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
101, 2, 8, 9syl3anc 1185 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  ( F `  ( G `  P ) )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   ` cfv 5456   lecple 13538   Atomscatm 30123   HLchlt 30210   LHypclh 30843   LTrncltrn 30960
This theorem is referenced by:  cdlemg9a  31491  cdlemg9  31493  cdlemg11aq  31497  cdlemg12a  31502  cdlemg12c  31504  cdlemg12f  31507  cdlemg12g  31508  cdlemg12  31509  cdlemg13a  31510  cdlemg13  31511  cdlemg17f  31525  cdlemg17g  31526  cdlemg17  31536  cdlemg19a  31542  cdlemg19  31543
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-undef 6545  df-riota 6551  df-map 7022  df-plt 14417  df-glb 14434  df-p0 14470  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-hlat 30211  df-lhyp 30847  df-laut 30848  df-ldil 30963  df-ltrn 30964
  Copyright terms: Public domain W3C validator