Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrncvr Structured version   Unicode version

Theorem ltrncvr 30857
Description: Covering property of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncvr.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ltrncvr.c  |-  C  =  (  <o  `  K )
ltrncvr.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrncvr.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrncvr  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X C Y  <-> 
( F `  X
) C ( F `
 Y ) ) )

Proof of Theorem ltrncvr
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  K  e.  V )
2 ltrncvr.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2435 . . . 4  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
4 ltrncvr.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrnlaut 30847 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
653adant3 977 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  F  e.  ( LAut `  K ) )
7 simp3l 985 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  X  e.  B )
8 simp3r 986 . 2  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  ->  Y  e.  B )
9 ltrncvr.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
10 ltrncvr.c . . 3  |-  C  =  (  <o  `  K )
119, 10, 3lautcvr 30816 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( F  e.  ( LAut `  K )  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )
)  ->  ( X C Y  <->  ( F `  X ) C ( F `  Y ) ) )
121, 6, 7, 8, 11syl13anc 1186 1  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  W  e.  H
)  /\  F  e.  T  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )  -> 
( X C Y  <-> 
( F `  X
) C ( F `
 Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446   Basecbs 13461    <o ccvr 29987   LHypclh 30708   LAutclaut 30709   LTrncltrn 30825
This theorem is referenced by:  ltrnatb  30861
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-plt 14407  df-covers 29991  df-laut 30713  df-ldil 30828  df-ltrn 30829
  Copyright terms: Public domain W3C validator