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Theorem ltrnid 30946
Description: A lattice translation is the identity function iff all atoms not under the fiducial co-atom  W are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrneq.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ltrneq.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrneq.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrneq.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrneq.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnid  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  <-> 
F  =  (  _I  |`  B ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    F, p    H, p    K, p    T, p    W, p
Allowed substitution hint:    .<_ ( p)

Proof of Theorem ltrnid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  K  e.  HL )
21ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  K  e.  HL )
3 ltrneq.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
5 ltrneq.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
63, 4, 5ltrnlaut 30934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
76ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
8 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
9 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  F  e.  T )
11 ltrneq.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 ltrneq.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1311, 12atbase 30101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
1413ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  p  e.  B )
15 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  p  .<_  W )
16 ltrneq.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .<_  =  ( le `  K )
1711, 16, 3, 5ltrnval1 30945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( p  e.  B  /\  p  .<_  W ) )  ->  ( F `  p )  =  p )
189, 10, 14, 15, 17syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  ( F `  p )  =  p )
1918ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  (
p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p ) )
20 pm2.61 163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p )  -> 
( ( -.  p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p )  ->  ( F `  p )  =  p ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p )  ->  ( F `  p )  =  p ) )
2221ralimdva 2634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  ->  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p ) )
2322imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p )
2423adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p )
2511, 12, 4lauteq 30906 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  F  e.  ( LAut `  K )  /\  x  e.  B )  /\  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p )  ->  ( F `  x )  =  x )
262, 7, 8, 24, 25syl31anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  =  x )
27 fvresi 5727 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
2827adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
2926, 28eqtr4d 2331 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) )
3029ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `
 x ) )
3111, 3, 5ltrn1o 30935 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
3231adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
33 f1ofn 5489 . . . . . 6  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  B )
3432, 33syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  F  Fn  B )
35 fnresi 5377 . . . . 5  |-  (  _I  |`  B )  Fn  B
36 eqfnfv 5638 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  B  /\  (  _I  |`  B )  Fn  B )  -> 
( F  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) ) )
3734, 35, 36sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) ) )
3830, 37mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  F  =  (  _I  |`  B ) )
3938ex 423 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  ->  F  =  (  _I  |`  B )
) )
4013adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  B )
41 fvresi 5727 . . . . . 6  |-  ( p  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 p )  =  p )
4240, 41syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 p )  =  p )
43 fveq1 5540 . . . . . 6  |-  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( F `  p )  =  ( (  _I  |`  B ) `
 p ) )
4443eqeq1d 2304 . . . . 5  |-  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ( F `
 p )  =  p  <->  ( (  _I  |`  B ) `  p
)  =  p ) )
4542, 44syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( F `  p )  =  p ) )
4645a1dd 42 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) ) )
4746ralrimdva 2646 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p ) ) )
4839, 47impbid 183 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  <-> 
F  =  (  _I  |`  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   class class class wbr 4039    _I cid 4320    |` cres 4707    Fn wfn 5266   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795   LAutclaut 30796   LTrncltrn 30912
This theorem is referenced by:  ltrnnid  30947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-map 6790  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-laut 30800  df-ldil 30915  df-ltrn 30916
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