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Theorem ltrnid 29697
Description: A lattice translation is the identity function iff all atoms not under the fiducial co-atom  W are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrneq.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ltrneq.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrneq.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrneq.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrneq.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnid  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  <-> 
F  =  (  _I  |`  B ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    F, p    H, p    K, p    T, p    W, p
Allowed substitution hint:    .<_ ( p)

Proof of Theorem ltrnid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  K  e.  HL )
21ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  K  e.  HL )
3 ltrneq.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
5 ltrneq.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
63, 4, 5ltrnlaut 29685 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
76ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
8 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
9 simplll 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
10 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  F  e.  T )
11 ltrneq.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 ltrneq.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1311, 12atbase 28852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
1413ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  p  e.  B )
15 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  p  .<_  W )
16 ltrneq.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .<_  =  ( le `  K )
1711, 16, 3, 5ltrnval1 29696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( p  e.  B  /\  p  .<_  W ) )  ->  ( F `  p )  =  p )
189, 10, 14, 15, 17syl112anc 1186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  ( F `  p )  =  p )
1918ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  (
p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p ) )
20 pm2.61 163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p )  -> 
( ( -.  p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p )  ->  ( F `  p )  =  p ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p )  ->  ( F `  p )  =  p ) )
2221ralimdva 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  ->  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p ) )
2322imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p )
2423adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p )
2511, 12, 4lauteq 29657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  F  e.  ( LAut `  K )  /\  x  e.  B )  /\  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p )  ->  ( F `  x )  =  x )
262, 7, 8, 24, 25syl31anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  =  x )
27 fvresi 5711 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
2827adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
2926, 28eqtr4d 2318 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) )
3029ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `
 x ) )
3111, 3, 5ltrn1o 29686 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
3231adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
33 f1ofn 5473 . . . . . 6  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  B )
3432, 33syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  F  Fn  B )
35 fnresi 5361 . . . . 5  |-  (  _I  |`  B )  Fn  B
36 eqfnfv 5622 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  B  /\  (  _I  |`  B )  Fn  B )  -> 
( F  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) ) )
3734, 35, 36sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) ) )
3830, 37mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  F  =  (  _I  |`  B ) )
3938ex 423 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  ->  F  =  (  _I  |`  B )
) )
4013adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  B )
41 fvresi 5711 . . . . . 6  |-  ( p  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 p )  =  p )
4240, 41syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 p )  =  p )
43 fveq1 5524 . . . . . 6  |-  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( F `  p )  =  ( (  _I  |`  B ) `
 p ) )
4443eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ( F `
 p )  =  p  <->  ( (  _I  |`  B ) `  p
)  =  p ) )
4542, 44syl5ibrcom 213 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( F `  p )  =  p ) )
4645a1dd 42 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) ) )
4746ralrimdva 2633 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p ) ) )
4839, 47impbid 183 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  <-> 
F  =  (  _I  |`  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023    _I cid 4304    |` cres 4691    Fn wfn 5250   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255   Basecbs 13148   lecple 13215   Atomscatm 28826   HLchlt 28913   LHypclh 29546   LAutclaut 29547   LTrncltrn 29663
This theorem is referenced by:  ltrnnid  29698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 28739  df-ol 28741  df-oml 28742  df-covers 28829  df-ats 28830  df-atl 28861  df-cvlat 28885  df-hlat 28914  df-laut 29551  df-ldil 29666  df-ltrn 29667
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