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Theorem ltrnq 8603
Description: Ordering property of reciprocal for positive fractions. Proposition 9-2.6(iv) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 9-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltrnq  |-  ( A 
<Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) )

Proof of Theorem ltrnq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 8550 . . 3  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
21brel 4737 . 2  |-  ( A 
<Q  B  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. ) )
31brel 4737 . . 3  |-  ( ( *Q `  B ) 
<Q  ( *Q `  A
)  ->  ( ( *Q `  B )  e. 
Q.  /\  ( *Q `  A )  e.  Q. ) )
4 dmrecnq 8592 . . . . 5  |-  dom  *Q  =  Q.
5 0nnq 8548 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  Q.
64, 5ndmfvrcl 5553 . . . 4  |-  ( ( *Q `  B )  e.  Q.  ->  B  e.  Q. )
74, 5ndmfvrcl 5553 . . . 4  |-  ( ( *Q `  A )  e.  Q.  ->  A  e.  Q. )
86, 7anim12ci 550 . . 3  |-  ( ( ( *Q `  B
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  A )  e.  Q. )  -> 
( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )
)
93, 8syl 15 . 2  |-  ( ( *Q `  B ) 
<Q  ( *Q `  A
)  ->  ( A  e.  Q.  /\  B  e. 
Q. ) )
10 breq1 4026 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
x  <Q  y  <->  A  <Q  y ) )
11 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( *Q `  x )  =  ( *Q `  A
) )
1211breq2d 4035 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( *Q `  y
)  <Q  ( *Q `  x )  <->  ( *Q `  y )  <Q  ( *Q `  A ) ) )
1310, 12bibi12d 312 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  <Q  y  <->  ( *Q `  y ) 
<Q  ( *Q `  x
) )  <->  ( A  <Q  y  <->  ( *Q `  y )  <Q  ( *Q `  A ) ) ) )
14 breq2 4027 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A  <Q  y  <->  A  <Q  B ) )
15 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( *Q `  y )  =  ( *Q `  B
) )
1615breq1d 4033 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
( *Q `  y
)  <Q  ( *Q `  A )  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )
1714, 16bibi12d 312 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  <Q  y  <->  ( *Q `  y ) 
<Q  ( *Q `  A
) )  <->  ( A  <Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) ) )
18 recclnq 8590 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Q.  ->  ( *Q `  x )  e. 
Q. )
19 recclnq 8590 . . . . . 6  |-  ( y  e.  Q.  ->  ( *Q `  y )  e. 
Q. )
20 mulclnq 8571 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  x
)  e.  Q.  /\  ( *Q `  y )  e.  Q. )  -> 
( ( *Q `  x )  .Q  ( *Q `  y ) )  e.  Q. )
2118, 19, 20syl2an 463 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  x )  .Q  ( *Q `  y ) )  e.  Q. )
22 ltmnq 8596 . . . . 5  |-  ( ( ( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) )  e.  Q.  ->  (
x  <Q  y  <->  ( (
( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x )  <Q 
( ( ( *Q
`  x )  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  y
) ) )
2321, 22syl 15 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  y  <->  ( ( ( *Q `  x )  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <Q 
( ( ( *Q
`  x )  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  y
) ) )
24 mulcomnq 8577 . . . . . . 7  |-  ( ( ( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x )  =  ( x  .Q  (
( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) ) )
25 mulassnq 8583 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .Q  ( *Q
`  x ) )  .Q  ( *Q `  y ) )  =  ( x  .Q  (
( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) ) )
26 mulcomnq 8577 . . . . . . 7  |-  ( ( x  .Q  ( *Q
`  x ) )  .Q  ( *Q `  y ) )  =  ( ( *Q `  y )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  x ) ) )
2724, 25, 263eqtr2i 2309 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  x )  =  ( ( *Q `  y )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  x ) ) )
28 recidnq 8589 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
x  .Q  ( *Q
`  x ) )  =  1Q )
2928oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( *Q `  y
)  .Q  ( x  .Q  ( *Q `  x ) ) )  =  ( ( *Q
`  y )  .Q  1Q ) )
30 mulidnq 8587 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  y )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  y
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  y ) )
3119, 30syl 15 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
( *Q `  y
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  y ) )
3229, 31sylan9eq 2335 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  y )  .Q  (
x  .Q  ( *Q
`  x ) ) )  =  ( *Q
`  y ) )
3327, 32syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  x )  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  x
)  =  ( *Q
`  y ) )
34 mulassnq 8583 . . . . . . 7  |-  ( ( ( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  y )  =  ( ( *Q `  x )  .Q  (
( *Q `  y
)  .Q  y ) )
35 mulcomnq 8577 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  y )  .Q  y )  =  ( y  .Q  ( *Q `  y ) )
3635oveq2i 5869 . . . . . . 7  |-  ( ( *Q `  x )  .Q  ( ( *Q
`  y )  .Q  y ) )  =  ( ( *Q `  x )  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )
3734, 36eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  x
)  .Q  ( *Q
`  y ) )  .Q  y )  =  ( ( *Q `  x )  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )
38 recidnq 8589 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) )  =  1Q )
3938oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
( *Q `  x
)  .Q  ( y  .Q  ( *Q `  y ) ) )  =  ( ( *Q
`  x )  .Q  1Q ) )
40 mulidnq 8587 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  x )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  x
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  x ) )
4118, 40syl 15 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
( *Q `  x
)  .Q  1Q )  =  ( *Q `  x ) )
4239, 41sylan9eqr 2337 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  x )  .Q  (
y  .Q  ( *Q
`  y ) ) )  =  ( *Q
`  x ) )
4337, 42syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q
`  x )  .Q  ( *Q `  y
) )  .Q  y
)  =  ( *Q
`  x ) )
4433, 43breq12d 4036 . . . 4  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( ( ( ( *Q `  x )  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  x )  <Q  (
( ( *Q `  x )  .Q  ( *Q `  y ) )  .Q  y )  <->  ( *Q `  y )  <Q  ( *Q `  x ) ) )
4523, 44bitrd 244 . . 3  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  y  <->  ( *Q `  y ) 
<Q  ( *Q `  x
) ) )
4613, 17, 45vtocl2ga 2851 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( A  <Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) ) )
472, 9, 46pm5.21nii 342 1  |-  ( A 
<Q  B  <->  ( *Q `  B )  <Q  ( *Q `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Q.cnq 8474   1Qc1q 8475    .Q cmq 8478   *Qcrq 8479    <Q cltq 8480
This theorem is referenced by:  addclprlem1  8640  reclem2pr  8672  reclem3pr  8673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ni 8496  df-mi 8498  df-lti 8499  df-mpq 8533  df-ltpq 8534  df-enq 8535  df-nq 8536  df-erq 8537  df-mq 8539  df-1nq 8540  df-rq 8541  df-ltnq 8542
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