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Theorem ltrooo 25404
Description: A left translation is a bijection. The term  A is a constant. (Contributed by FL, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrdom.1  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )
ltrdom.2  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ltrooo  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  F : X -1-1-onto-> X )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem ltrooo
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrdom.1 . 2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )
2 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( A G x )  e. 
_V
32rgenw 2610 . . . . . 6  |-  A. x  e.  X  ( A G x )  e. 
_V
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  A. x  e.  X  ( A G x )  e. 
_V )
5 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )
65mptfng 5369 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  ( A G x )  e. 
_V 
<->  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )  Fn  X
)
74, 6sylib 188 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
x  e.  X  |->  ( A G x ) )  Fn  X )
8 ltrdom.2 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
95, 8ltrran2 25403 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )  =  X )
10 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
a  e.  X )
118grpocl 20867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  ( A G a )  e.  X )
12113exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A  e.  X  ->  ( a  e.  X  ->  ( A G a )  e.  X ) ) )
1312com3r 73 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A  e.  X  ->  ( A G a )  e.  X ) ) )
1413adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( A  e.  X  ->  ( A G a )  e.  X ) ) )
1514com3l 75 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A  e.  X  ->  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( A G a )  e.  X ) ) )
1615imp31 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( A G a )  e.  X )
17 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  ( A G x )  =  ( A G a ) )
1817, 5fvmptg 5600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  X  /\  ( A G a )  e.  X )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a )  =  ( A G a ) )
1910, 16, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a )  =  ( A G a ) )
2019eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( A G a )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a ) )
21203adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  ( A G a )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a ) )
22 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `
 b ) )
23 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
248grpocl 20867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( A G b )  e.  X )
25243expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
b  e.  X  -> 
( A G b )  e.  X ) )
2625adantld 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( A G b )  e.  X ) )
2726imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( A G b )  e.  X )
2823, 27jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( b  e.  X  /\  ( A G b )  e.  X ) )
29283adant3 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  ( b  e.  X  /\  ( A G b )  e.  X ) )
30 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  ( A G x )  =  ( A G b ) )
3130, 5fvmptg 5600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  X  /\  ( A G b )  e.  X )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b )  =  ( A G b ) )
3229, 31syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b )  =  ( A G b ) )
3321, 22, 323eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  ( A G a )  =  ( A G b ) )
348grpolcan 20900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( A G a )  =  ( A G b )  <->  a  =  b ) )
3534expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( ( A G a )  =  ( A G b )  <-> 
a  =  b ) ) )
36353exp 1150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  X  ->  (
b  e.  X  -> 
( A  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( ( A G a )  =  ( A G b )  <-> 
a  =  b ) ) ) ) )
3736com34 77 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  X  ->  (
b  e.  X  -> 
( G  e.  GrpOp  -> 
( A  e.  X  ->  ( ( A G a )  =  ( A G b )  <-> 
a  =  b ) ) ) ) )
3837imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( A  e.  X  ->  ( ( A G a )  =  ( A G b )  <-> 
a  =  b ) ) ) )
3938com3l 75 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A  e.  X  ->  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( ( A G a )  =  ( A G b )  <-> 
a  =  b ) ) ) )
4039imp31 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( A G a )  =  ( A G b )  <-> 
a  =  b ) )
41403adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  ( ( A G a )  =  ( A G b )  <->  a  =  b ) )
4233, 41mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  a  =  b )
43423exp 1150 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b )  ->  a  =  b ) ) )
4443ralrimivv 2634 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b )  ->  a  =  b ) )
45 dff1o6 5791 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) : X -1-1-onto-> X  <->  ( (
x  e.  X  |->  ( A G x ) )  Fn  X  /\  ran  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )  =  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `
 b )  -> 
a  =  b ) ) )
467, 9, 44, 45syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
x  e.  X  |->  ( A G x ) ) : X -1-1-onto-> X )
47 f1oeq1 5463 . . 3  |-  ( F  =  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )  -> 
( F : X -1-1-onto-> X  <->  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
4846, 47syl5ibr 212 . 2  |-  ( F  =  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )  -> 
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X
)  ->  F : X
-1-1-onto-> X ) )
491, 48ax-mp 8 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  F : X -1-1-onto-> X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   GrpOpcgr 20853
This theorem is referenced by:  ltrinvlem  25406
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-riota 6304  df-grpo 20858  df-gid 20859  df-ginv 20860
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