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Theorem ltrooo 25507
Description: A left translation is a bijection. The term  A is a constant. (Contributed by FL, 29-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrdom.1  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )
ltrdom.2  |-  X  =  ran  G
Assertion
Ref Expression
ltrooo  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  F : X -1-1-onto-> X )
Distinct variable groups:    x, A    x, G    x, X
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem ltrooo
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrdom.1 . 2  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )
2 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( A G x )  e. 
_V
32rgenw 2623 . . . . . 6  |-  A. x  e.  X  ( A G x )  e. 
_V
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  A. x  e.  X  ( A G x )  e. 
_V )
5 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )  =  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )
65mptfng 5385 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  X  ( A G x )  e. 
_V 
<->  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )  Fn  X
)
74, 6sylib 188 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
x  e.  X  |->  ( A G x ) )  Fn  X )
8 ltrdom.2 . . . . 5  |-  X  =  ran  G
95, 8ltrran2 25506 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  ran  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )  =  X )
10 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
a  e.  X )
118grpocl 20883 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  a  e.  X )  ->  ( A G a )  e.  X )
12113exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A  e.  X  ->  ( a  e.  X  ->  ( A G a )  e.  X ) ) )
1312com3r 73 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A  e.  X  ->  ( A G a )  e.  X ) ) )
1413adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( A  e.  X  ->  ( A G a )  e.  X ) ) )
1514com3l 75 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A  e.  X  ->  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( A G a )  e.  X ) ) )
1615imp31 421 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( A G a )  e.  X )
17 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  a  ->  ( A G x )  =  ( A G a ) )
1817, 5fvmptg 5616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  X  /\  ( A G a )  e.  X )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a )  =  ( A G a ) )
1910, 16, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a )  =  ( A G a ) )
2019eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( A G a )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a ) )
21203adant3 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  ( A G a )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a ) )
22 simp3 957 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `
 b ) )
23 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
248grpocl 20883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( A G b )  e.  X )
25243expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
b  e.  X  -> 
( A G b )  e.  X ) )
2625adantld 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( A G b )  e.  X ) )
2726imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( A G b )  e.  X )
2823, 27jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( b  e.  X  /\  ( A G b )  e.  X ) )
29283adant3 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  ( b  e.  X  /\  ( A G b )  e.  X ) )
30 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  b  ->  ( A G x )  =  ( A G b ) )
3130, 5fvmptg 5616 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  X  /\  ( A G b )  e.  X )  -> 
( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b )  =  ( A G b ) )
3229, 31syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  ( (
x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b )  =  ( A G b ) )
3321, 22, 323eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  ( A G a )  =  ( A G b ) )
348grpolcan 20916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  (
a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( A G a )  =  ( A G b )  <->  a  =  b ) )
3534expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X  /\  A  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( ( A G a )  =  ( A G b )  <-> 
a  =  b ) ) )
36353exp 1150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  X  ->  (
b  e.  X  -> 
( A  e.  X  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( ( A G a )  =  ( A G b )  <-> 
a  =  b ) ) ) ) )
3736com34 77 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  X  ->  (
b  e.  X  -> 
( G  e.  GrpOp  -> 
( A  e.  X  ->  ( ( A G a )  =  ( A G b )  <-> 
a  =  b ) ) ) ) )
3837imp 418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( G  e.  GrpOp  -> 
( A  e.  X  ->  ( ( A G a )  =  ( A G b )  <-> 
a  =  b ) ) ) )
3938com3l 75 . . . . . . . . 9  |-  ( G  e.  GrpOp  ->  ( A  e.  X  ->  ( ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  ->  ( ( A G a )  =  ( A G b )  <-> 
a  =  b ) ) ) )
4039imp31 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X ) )  -> 
( ( A G a )  =  ( A G b )  <-> 
a  =  b ) )
41403adant3 975 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  ( ( A G a )  =  ( A G b )  <->  a  =  b ) )
4233, 41mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  /\  ( a  e.  X  /\  b  e.  X )  /\  (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b ) )  ->  a  =  b )
43423exp 1150 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
( a  e.  X  /\  b  e.  X
)  ->  ( (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b )  ->  a  =  b ) ) )
4443ralrimivv 2647 . . . 4  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( (
( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a
)  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  b )  ->  a  =  b ) )
45 dff1o6 5807 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) : X -1-1-onto-> X  <->  ( (
x  e.  X  |->  ( A G x ) )  Fn  X  /\  ran  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )  =  X  /\  A. a  e.  X  A. b  e.  X  ( ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `  a )  =  ( ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) `
 b )  -> 
a  =  b ) ) )
467, 9, 44, 45syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  (
x  e.  X  |->  ( A G x ) ) : X -1-1-onto-> X )
47 f1oeq1 5479 . . 3  |-  ( F  =  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )  -> 
( F : X -1-1-onto-> X  <->  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) ) : X -1-1-onto-> X ) )
4846, 47syl5ibr 212 . 2  |-  ( F  =  ( x  e.  X  |->  ( A G x ) )  -> 
( ( G  e. 
GrpOp  /\  A  e.  X
)  ->  F : X
-1-1-onto-> X ) )
491, 48ax-mp 8 1  |-  ( ( G  e.  GrpOp  /\  A  e.  X )  ->  F : X -1-1-onto-> X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   GrpOpcgr 20869
This theorem is referenced by:  ltrinvlem  25509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-riota 6320  df-grpo 20874  df-gid 20875  df-ginv 20876
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