MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltso Unicode version

Theorem ltso 8903
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso  |-  <  Or  RR

Proof of Theorem ltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlttri 8894 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <  x
) ) )
2 lttr 8899 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
31, 2isso2i 4346 1  |-  <  Or  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    Or wor 4313   RRcr 8736    < clt 8867
This theorem is referenced by:  lttri2  8904  lttri3  8905  lttri4  8906  ltnr  8915  ltnsym2  8920  fimaxre  9701  lbinfm  9707  suprcl  9714  suprub  9715  suprlub  9716  infmsup  9732  infmrgelb  9734  infmrlb  9735  suprzcl2  10308  suprzub  10309  fseqsupcl  11039  isercolllem1  12138  isercolllem2  12139  summolem2  12189  zsum  12191  fsumcvg3  12202  mertenslem2  12341  cnso  12525  gcdval  12687  odzval  12856  pczpre  12900  prmreclem1  12963  ramcl2lem  13056  ramz  13072  odval  14849  odf  14852  gexval  14889  gsumval3  15191  mbfsup  19019  mbfinf  19020  itg2monolem1  19105  itg2mono  19108  dvgt0lem2  19350  dvgt0  19351  dvlt0  19352  plyeq0lem  19592  dgrval  19610  dgrcl  19615  dgrub  19616  dgrlb  19618  elqaalem1  19699  elqaalem3  19701  aalioulem2  19713  logccv  20010  ex-po  20822  ballotlemi  23059  ballotlemiex  23060  ballotlemsup  23063  ballotlemimin  23064  ballotlemfrcn0  23088  ballotlemirc  23090  ssnnssfz  23277  lmdvg  23376  erdszelem3  23724  erdszelem4  23725  erdszelem5  23726  erdszelem6  23727  erdszelem8  23729  erdszelem9  23730  erdszelem11  23732  erdsze2lem1  23734  erdsze2lem2  23735  supfz  24094  inffz  24095  gtinf  26234  incsequz2  26459  totbndbnd  26513  prdsbnd  26517  rencldnfilem  26903  pellfundval  26965  dgraaval  27349  dgraaf  27352  infrglb  27722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872
  Copyright terms: Public domain W3C validator