MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltso Unicode version

Theorem ltso 8919
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso  |-  <  Or  RR

Proof of Theorem ltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlttri 8910 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <  x
) ) )
2 lttr 8915 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
31, 2isso2i 4362 1  |-  <  Or  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    Or wor 4329   RRcr 8752    < clt 8883
This theorem is referenced by:  lttri2  8920  lttri3  8921  lttri4  8922  ltnr  8931  ltnsym2  8936  fimaxre  9717  lbinfm  9723  suprcl  9730  suprub  9731  suprlub  9732  infmsup  9748  infmrgelb  9750  infmrlb  9751  suprzcl2  10324  suprzub  10325  fseqsupcl  11055  isercolllem1  12154  isercolllem2  12155  summolem2  12205  zsum  12207  fsumcvg3  12218  mertenslem2  12357  cnso  12541  gcdval  12703  odzval  12872  pczpre  12916  prmreclem1  12979  ramcl2lem  13072  ramz  13088  odval  14865  odf  14868  gexval  14905  gsumval3  15207  mbfsup  19035  mbfinf  19036  itg2monolem1  19121  itg2mono  19124  dvgt0lem2  19366  dvgt0  19367  dvlt0  19368  plyeq0lem  19608  dgrval  19626  dgrcl  19631  dgrub  19632  dgrlb  19634  elqaalem1  19715  elqaalem3  19717  aalioulem2  19729  logccv  20026  ex-po  20838  ballotlemi  23075  ballotlemiex  23076  ballotlemsup  23079  ballotlemimin  23080  ballotlemfrcn0  23104  ballotlemirc  23106  ssnnssfz  23292  lmdvg  23391  erdszelem3  23739  erdszelem4  23740  erdszelem5  23741  erdszelem6  23742  erdszelem8  23744  erdszelem9  23745  erdszelem11  23747  erdsze2lem1  23749  erdsze2lem2  23750  supfz  24109  inffz  24110  prodmolem2  24158  zprod  24160  gtinf  26337  incsequz2  26562  totbndbnd  26616  prdsbnd  26620  rencldnfilem  27006  pellfundval  27068  dgraaval  27452  dgraaf  27455  infrglb  27825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888
  Copyright terms: Public domain W3C validator