MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltso Structured version   Unicode version

Theorem ltso 9158
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso  |-  <  Or  RR

Proof of Theorem ltso
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlttri 9149 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <  y  <->  -.  ( x  =  y  \/  y  <  x
) ) )
2 lttr 9154 . 2  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  (
( x  <  y  /\  y  <  z )  ->  x  <  z
) )
31, 2isso2i 4537 1  |-  <  Or  RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    Or wor 4504   RRcr 8991    < clt 9122
This theorem is referenced by:  lttri2  9159  lttri3  9160  lttri4  9161  ltnr  9170  ltnsym2  9175  fimaxre  9957  lbinfm  9963  suprcl  9970  suprub  9971  suprlub  9972  infmsup  9988  infmrgelb  9990  infmrlb  9991  suprzcl2  10568  suprzub  10569  fseqsupcl  11318  isercolllem1  12460  isercolllem2  12461  summolem2  12512  zsum  12514  fsumcvg3  12525  mertenslem2  12664  cnso  12848  gcdval  13010  odzval  13179  pczpre  13223  prmreclem1  13286  ramcl2lem  13379  ramz  13395  odval  15174  odf  15177  gexval  15214  gsumval3  15516  mbfsup  19558  mbfinf  19559  itg2monolem1  19644  itg2mono  19647  dvgt0lem2  19889  dvgt0  19890  dvlt0  19891  plyeq0lem  20131  dgrval  20149  dgrcl  20154  dgrub  20155  dgrlb  20157  elqaalem1  20238  elqaalem3  20240  aalioulem2  20252  logccv  20556  ex-po  21745  ssnnssfz  24150  retos  24280  lmdvg  24340  ballotlemi  24760  ballotlemiex  24761  ballotlemsup  24764  ballotlemimin  24765  ballotlemfrcn0  24789  ballotlemirc  24791  erdszelem3  24881  erdszelem4  24882  erdszelem5  24883  erdszelem6  24884  erdszelem8  24886  erdszelem9  24887  erdszelem11  24889  erdsze2lem1  24891  erdsze2lem2  24892  supfz  25201  inffz  25202  prodmolem2  25263  zprod  25265  mblfinlem3  26247  mblfinlem4  26248  ismblfin  26249  gtinf  26324  incsequz2  26455  totbndbnd  26500  prdsbnd  26504  rencldnfilem  26883  pellfundval  26945  dgraaval  27328  dgraaf  27331  infrglb  27700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127
  Copyright terms: Public domain W3C validator