Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsonq Structured version   Unicode version

Theorem ltsonq 8847
 Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltsonq

Proof of Theorem ltsonq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpqn 8803 . . . . . . 7
21adantr 453 . . . . . 6
3 xp1st 6377 . . . . . 6
42, 3syl 16 . . . . 5
5 elpqn 8803 . . . . . . 7
65adantl 454 . . . . . 6
7 xp2nd 6378 . . . . . 6
86, 7syl 16 . . . . 5
9 mulclpi 8771 . . . . 5
104, 8, 9syl2anc 644 . . . 4
11 xp1st 6377 . . . . . 6
126, 11syl 16 . . . . 5
13 xp2nd 6378 . . . . . 6
142, 13syl 16 . . . . 5
15 mulclpi 8771 . . . . 5
1612, 14, 15syl2anc 644 . . . 4
17 ltsopi 8766 . . . . 5
18 sotric 4530 . . . . 5
1917, 18mpan 653 . . . 4
2010, 16, 19syl2anc 644 . . 3
21 ordpinq 8821 . . 3
22 fveq2 5729 . . . . . . 7
23 fveq2 5729 . . . . . . . 8
2423eqcomd 2442 . . . . . . 7
2522, 24oveq12d 6100 . . . . . 6
26 enqbreq2 8798 . . . . . . . 8
271, 5, 26syl2an 465 . . . . . . 7
28 enqeq 8812 . . . . . . . 8
29283expia 1156 . . . . . . 7
3027, 29sylbird 228 . . . . . 6
3125, 30impbid2 197 . . . . 5
32 ordpinq 8821 . . . . . 6
3332ancoms 441 . . . . 5
3431, 33orbi12d 692 . . . 4
3534notbid 287 . . 3
3620, 21, 353bitr4d 278 . 2
37213adant3 978 . . . . . 6
38 elpqn 8803 . . . . . . . 8
39383ad2ant3 981 . . . . . . 7
40 xp2nd 6378 . . . . . . 7
41 ltmpi 8782 . . . . . . 7
4239, 40, 413syl 19 . . . . . 6
4337, 42bitrd 246 . . . . 5
44 ordpinq 8821 . . . . . . 7
45443adant1 976 . . . . . 6
4613ad2ant1 979 . . . . . . 7
47 ltmpi 8782 . . . . . . 7
4846, 13, 473syl 19 . . . . . 6
4945, 48bitrd 246 . . . . 5
5043, 49anbi12d 693 . . . 4
51 fvex 5743 . . . . . . 7
52 fvex 5743 . . . . . . 7
53 fvex 5743 . . . . . . 7
54 mulcompi 8774 . . . . . . 7
55 mulasspi 8775 . . . . . . 7
5651, 52, 53, 54, 55caov13 6278 . . . . . 6
57 fvex 5743 . . . . . . 7
58 fvex 5743 . . . . . . 7
5951, 57, 58, 54, 55caov13 6278 . . . . . 6
6056, 59breq12i 4222 . . . . 5
61 fvex 5743 . . . . . . 7
6253, 61, 58, 54, 55caov13 6278 . . . . . 6
63 ltrelpi 8767 . . . . . . 7
6417, 63sotri 5262 . . . . . 6
6562, 64syl5eqbrr 4247 . . . . 5
6660, 65sylan2b 463 . . . 4
6750, 66syl6bi 221 . . 3
68 ordpinq 8821 . . . . 5
69683adant2 977 . . . 4
7053ad2ant2 980 . . . . 5
71 ltmpi 8782 . . . . 5
7270, 7, 713syl 19 . . . 4
7369, 72bitrd 246 . . 3
7467, 73sylibrd 227 . 2
7536, 74isso2i 4536 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   class class class wbr 4213   wor 4503   cxp 4877  cfv 5455  (class class class)co 6082  c1st 6348  c2nd 6349  cnpi 8720   cmi 8722   clti 8723   ceq 8727  cnq 8728   cltq 8734 This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  8856  prub  8872  npomex  8874  genpnnp  8883  nqpr  8892  distrlem4pr  8904  prlem934  8911  ltexprlem4  8917  reclem2pr  8926  reclem4pr  8928 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-oadd 6729  df-omul 6730  df-er 6906  df-ni 8750  df-mi 8752  df-lti 8753  df-ltpq 8788  df-enq 8789  df-nq 8790  df-ltnq 8796
 Copyright terms: Public domain W3C validator