Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsrpr Structured version   Unicode version

Theorem ltsrpr 8944
 Description: Ordering of signed reals in terms of positive reals. (Contributed by NM, 20-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltsrpr

Proof of Theorem ltsrpr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 enrex 8937 . 2
2 enrer 8935 . . 3
3 erdm 6907 . . 3
42, 3ax-mp 8 . 2
5 df-nr 8927 . 2
6 ltrelsr 8938 . 2
7 ltrelpr 8867 . 2
8 0npr 8861 . 2
9 dmplp 8881 . 2
10 df-ltr 8930 . . 3
11 addclpr 8887 . . . . . . 7
1211ad2ant2lr 729 . . . . . 6
13 addclpr 8887 . . . . . . 7
1413ad2ant2lr 729 . . . . . 6
1512, 14anim12ci 551 . . . . 5
1615an4s 800 . . . 4
17 enreceq 8936 . . . . . 6
18 enreceq 8936 . . . . . . 7
19 eqcom 2437 . . . . . . 7
2018, 19syl6bb 253 . . . . . 6
2117, 20bi2anan9 844 . . . . 5
22 oveq12 6082 . . . . . 6
23 addcompr 8890 . . . . . . . . . 10
2423oveq1i 6083 . . . . . . . . 9
25 addasspr 8891 . . . . . . . . 9
26 addasspr 8891 . . . . . . . . 9
2724, 25, 263eqtr3i 2463 . . . . . . . 8
2827oveq2i 6084 . . . . . . 7
29 addasspr 8891 . . . . . . 7
30 addasspr 8891 . . . . . . 7
3128, 29, 303eqtr4i 2465 . . . . . 6
32 addcompr 8890 . . . . . . . . . 10
3332oveq1i 6083 . . . . . . . . 9
34 addasspr 8891 . . . . . . . . 9
35 addasspr 8891 . . . . . . . . 9
3633, 34, 353eqtr3i 2463 . . . . . . . 8
3736oveq2i 6084 . . . . . . 7
38 addasspr 8891 . . . . . . 7
39 addasspr 8891 . . . . . . 7
4037, 38, 393eqtr4i 2465 . . . . . 6
4122, 31, 403eqtr4g 2492 . . . . 5
4221, 41syl6bi 220 . . . 4
43 ovex 6098 . . . . 5
44 ovex 6098 . . . . 5
45 ltapr 8914 . . . . 5
46 ovex 6098 . . . . 5
47 addcompr 8890 . . . . 5
48 ovex 6098 . . . . 5
4943, 44, 45, 46, 47, 48caovord3 6252 . . . 4
5016, 42, 49ee12an 1372 . . 3
511, 2, 5, 10, 50brecop 6989 . 2
521, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 51brecop2 6990 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  cop 3809   class class class wbr 4204   cxp 4868   cdm 4870  (class class class)co 6073   wer 6894  cec 6895  cnp 8726   cpp 8728   cltp 8730   cer 8733  cnr 8734   cltr 8740 This theorem is referenced by:  gt0srpr  8945  ltsosr  8961  0lt1sr  8962  ltasr  8967  mappsrpr  8975  ltpsrpr  8976  map2psrpr  8977 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-ni 8741  df-pli 8742  df-mi 8743  df-lti 8744  df-plpq 8777  df-mpq 8778  df-ltpq 8779  df-enq 8780  df-nq 8781  df-erq 8782  df-plq 8783  df-mq 8784  df-1nq 8785  df-rq 8786  df-ltnq 8787  df-np 8850  df-plp 8852  df-ltp 8854  df-enr 8926  df-nr 8927  df-ltr 8930
 Copyright terms: Public domain W3C validator