MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsub1 Structured version   Unicode version

Theorem ltsub1 9526
Description: Subtraction from both sides of 'less than'. (Contributed by FL, 3-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltsub1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  -  C )  <  ( B  -  C )
) )

Proof of Theorem ltsub1
StepHypRef Expression
1 lesub1 9524 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  ( B  -  C )  <_  ( A  -  C )
) )
213com12 1158 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  ( B  -  C )  <_  ( A  -  C )
) )
32notbid 287 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -.  B  <_  A  <->  -.  ( B  -  C )  <_  ( A  -  C
) ) )
4 simp1 958 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
5 simp2 959 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
64, 5ltnled 9222 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A ) )
7 simp3 960 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  C  e.  RR )
84, 7resubcld 9467 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  -  C )  e.  RR )
95, 7resubcld 9467 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  -  C )  e.  RR )
108, 9ltnled 9222 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  -  C
)  <  ( B  -  C )  <->  -.  ( B  -  C )  <_  ( A  -  C
) ) )
113, 6, 103bitr4d 278 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  -  C )  <  ( B  -  C )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ w3a 937    e. wcel 1726   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   RRcr 8991    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293
This theorem is referenced by:  lt2sub  9528  ltsub1d  9637  addltmul  10205  elfznelfzo  11194  cos2bnd  12791  addltmulALT  23951
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-riota 6551  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296
  Copyright terms: Public domain W3C validator