MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttrd Structured version   Unicode version

Theorem lttrd 9233
Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lttrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
lttrd.5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
lttrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttrd
StepHypRef Expression
1 lttrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 lttrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lttr 9154 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 662 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   RRcr 8991    < clt 9122
This theorem is referenced by:  expgt1  11420  ltexp2a  11433  expcan  11434  ltexp2  11435  leexp2  11436  expnlbnd2  11512  expmulnbnd  11513  reccn2  12392  efgt1  12719  tanhlt1  12763  ruclem2  12833  pythagtriplem13  13203  fldivp1  13268  4sqlem12  13326  sylow1lem1  15234  nrginvrcnlem  18728  iccntr  18854  icccmplem2  18856  opnreen  18864  pjthlem1  19340  pmltpclem2  19348  ovollb2lem  19386  opnmbllem  19495  volivth  19501  lhop1lem  19899  dvcnvrelem1  19903  dvcvx  19906  ftc1lem4  19925  aaliou3lem7  20268  ulmdvlem1  20318  reeff1olem  20364  pilem2  20370  pilem3  20371  tangtx  20415  tanord1  20441  tanord  20442  rplogcl  20501  logimul  20511  logcnlem3  20537  efopnlem1  20549  cxplt  20587  cxple  20588  cxpcn3lem  20633  asinsin  20734  atanlogaddlem  20755  atanlogsublem  20757  cxp2limlem  20816  cxp2lim  20817  ftalem1  20857  mersenne  21013  bposlem2  21071  bposlem6  21075  bposlem9  21078  lgsqrlem2  21128  lgsquadlem2  21141  chebbnd1lem2  21166  chebbnd1lem3  21167  chebbnd1  21168  chtppilimlem1  21169  chto1ub  21172  mulog2sumlem2  21231  chpdifbndlem1  21249  selberg3lem1  21253  pntrlog2bndlem2  21274  pntrlog2bndlem4  21276  pntpbnd1a  21281  pntpbnd1  21282  pntpbnd2  21283  pntibndlem1  21285  pntibndlem2  21287  pntibndlem3  21288  pntibnd  21289  pntlemb  21293  pntlemr  21298  pntlemf  21301  pnt  21310  ostth2lem1  21314  ostth2lem3  21331  ostth2lem4  21332  eupap1  21700  pjhthlem1  22895  sqsscirc1  24308  xrge0iifiso  24323  zetacvg  24801  lgamucov  24824  lgamcvg2  24841  opnmbllem0  26244  itg2gt0cn  26262  ftc1cnnclem  26280  ftc1anc  26290  cntotbnd  26507  pellexlem5  26898  pellfundex  26951  pellfundrp  26953  rmspecfund  26974  monotuz  27006  jm3.1lem2  27091  jm3.1lem3  27092  stoweidlem7  27734  stoweidlem11  27738  stoweidlem13  27740  stoweidlem14  27741  stoweidlem26  27753  stoweidlem42  27769  stoweidlem52  27779  stoweidlem59  27786  stoweidlem60  27787  stoweidlem62  27789  wallispilem4  27795  wallispi  27797  stirlinglem1  27801  stirlinglem3  27803  stirlinglem6  27806  stirlinglem7  27807  stirlinglem10  27810  stirlinglem11  27811
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-resscn 9049  ax-pre-lttrn 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-ltxr 9127
  Copyright terms: Public domain W3C validator