MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttrd Unicode version

Theorem lttrd 9067
Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lttrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
lttrd.5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
lttrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttrd
StepHypRef Expression
1 lttrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 lttrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lttr 8989 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1710   class class class wbr 4104   RRcr 8826    < clt 8957
This theorem is referenced by:  expgt1  11233  ltexp2a  11246  expcan  11247  ltexp2  11248  leexp2  11249  expnlbnd2  11325  expmulnbnd  11326  reccn2  12166  efgt1  12493  tanhlt1  12537  ruclem2  12607  pythagtriplem13  12977  fldivp1  13042  4sqlem12  13100  sylow1lem1  15008  nrginvrcnlem  18303  iccntr  18429  icccmplem2  18431  opnreen  18439  pjthlem1  18905  pmltpclem2  18913  ovollb2lem  18951  opnmbllem  19060  volivth  19066  lhop1lem  19464  dvcnvrelem1  19468  dvcvx  19471  ftc1lem4  19490  aaliou3lem7  19833  ulmdvlem1  19883  reeff1olem  19929  pilem2  19935  pilem3  19936  tangtx  19980  tanord1  20006  tanord  20007  rplogcl  20066  logimul  20076  logcnlem3  20102  efopnlem1  20114  cxplt  20152  cxple  20153  cxpcn3lem  20198  asinsin  20299  atanlogaddlem  20320  atanlogsublem  20322  cxp2limlem  20381  cxp2lim  20382  ftalem1  20422  mersenne  20578  bposlem2  20636  bposlem6  20640  bposlem9  20643  lgsqrlem2  20693  lgsquadlem2  20706  chebbnd1lem2  20731  chebbnd1lem3  20732  chebbnd1  20733  chtppilimlem1  20734  chto1ub  20737  mulog2sumlem2  20796  chpdifbndlem1  20814  selberg3lem1  20818  pntrlog2bndlem2  20839  pntrlog2bndlem4  20841  pntpbnd1a  20846  pntpbnd1  20847  pntpbnd2  20848  pntibndlem1  20850  pntibndlem2  20852  pntibndlem3  20853  pntibnd  20854  pntlemb  20858  pntlemr  20863  pntlemf  20866  pnt  20875  ostth2lem1  20879  ostth2lem3  20896  ostth2lem4  20897  pjhthlem1  22084  sqsscirc1  23462  xrge0iifiso  23477  zetacvg  24048  lgamucov  24071  lgamcvg2  24088  eupap1  24304  itg2gt0cn  25495  ftc1cnnclem  25513  cntotbnd  25843  pellexlem5  26241  pellfundex  26294  pellfundrp  26296  rmspecfund  26317  monotuz  26349  jm3.1lem2  26434  jm3.1lem3  26435  stirlinglem1  27146  stirlinglem3  27148  stirlinglem6  27151  stirlinglem7  27152  stirlinglem10  27155  stirlinglem11  27156
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-pre-lttrn 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-ltxr 8962
  Copyright terms: Public domain W3C validator