MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttrd Unicode version

Theorem lttrd 8977
Description: Transitive law deduction for 'less than'. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
letrd.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
lttrd.4  |-  ( ph  ->  A  <  B )
lttrd.5  |-  ( ph  ->  B  <  C )
Assertion
Ref Expression
lttrd  |-  ( ph  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttrd
StepHypRef Expression
1 lttrd.4 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 lttrd.5 . 2  |-  ( ph  ->  B  <  C )
3 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
4 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
5 letrd.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6 lttr 8899 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
73, 4, 5, 6syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C ) )
81, 2, 7mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867
This theorem is referenced by:  expgt1  11140  ltexp2a  11153  expcan  11154  ltexp2  11155  leexp2  11156  expnlbnd2  11232  expmulnbnd  11233  reccn2  12070  efgt1  12396  tanhlt1  12440  ruclem2  12510  pythagtriplem13  12880  fldivp1  12945  4sqlem12  13003  sylow1lem1  14909  nrginvrcnlem  18201  iccntr  18326  icccmplem2  18328  opnreen  18336  pjthlem1  18801  pmltpclem2  18809  ovollb2lem  18847  opnmbllem  18956  volivth  18962  lhop1lem  19360  dvcnvrelem1  19364  dvcvx  19367  ftc1lem4  19386  aaliou3lem7  19729  ulmdvlem1  19777  reeff1olem  19822  pilem2  19828  pilem3  19829  tangtx  19873  tanord1  19899  tanord  19900  rplogcl  19958  logimul  19968  logcnlem3  19991  efopnlem1  20003  cxplt  20041  cxple  20042  cxpcn3lem  20087  asinsin  20188  atanlogaddlem  20209  atanlogsublem  20211  cxp2limlem  20270  cxp2lim  20271  ftalem1  20310  mersenne  20466  bposlem2  20524  bposlem6  20528  bposlem9  20531  lgsqrlem2  20581  lgsquadlem2  20594  chebbnd1lem2  20619  chebbnd1lem3  20620  chebbnd1  20621  chtppilimlem1  20622  chto1ub  20625  mulog2sumlem2  20684  chpdifbndlem1  20702  selberg3lem1  20706  pntrlog2bndlem2  20727  pntrlog2bndlem4  20729  pntpbnd1a  20734  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  pntibndlem1  20738  pntibndlem2  20740  pntibndlem3  20741  pntibnd  20742  pntlemb  20746  pntlemr  20751  pntlemf  20754  pnt  20763  ostth2lem1  20767  ostth2lem3  20784  ostth2lem4  20785  pjhthlem1  21970  xrge0iifiso  23317  zetacvg  23689  eupap1  23900  cntotbnd  26520  pellexlem5  26918  pellfundex  26971  pellfundrp  26973  rmspecfund  26994  monotuz  27026  jm3.1lem2  27111  jm3.1lem3  27112  stirlinglem1  27823  stirlinglem3  27825  stirlinglem6  27828  stirlinglem7  27829  stirlinglem10  27832  stirlinglem11  27833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872
  Copyright terms: Public domain W3C validator