MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Unicode version

Theorem lttri 8945
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 lttr 8899 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1277 1  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   RRcr 8736    < clt 8867
This theorem is referenced by:  1lt3  9888  2lt4  9890  1lt4  9891  3lt5  9893  2lt5  9894  1lt5  9895  4lt6  9897  3lt6  9898  2lt6  9899  1lt6  9900  5lt7  9902  4lt7  9903  3lt7  9904  2lt7  9905  1lt7  9906  6lt8  9908  5lt8  9909  4lt8  9910  3lt8  9911  2lt8  9912  1lt8  9913  7lt9  9915  6lt9  9916  5lt9  9917  4lt9  9918  3lt9  9919  2lt9  9920  1lt9  9921  8lt10  9923  7lt10  9924  6lt10  9925  5lt10  9926  4lt10  9927  3lt10  9928  2lt10  9929  1lt10  9930  sincos2sgn  12474  epos  12485  dvdslelem  12573  oppcbas  13621  sralem  15930  zlmlem  16471  tnglem  18156  xrhmph  18445  vitalilem4  18966  pipos  19833  logneg  19941  asin1  20190  reasinsin  20192  atan1  20224  bposlem8  20530  bposlem9  20531  chebbnd1lem2  20619  chebbnd1lem3  20620  chebbnd1  20621  mulog2sumlem2  20684  pntibndlem1  20738  pntlemb  20746  pntlemk  20755  log2le1  23409  axlowdimlem16  24585  fdc  26455
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872
  Copyright terms: Public domain W3C validator