MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Unicode version

Theorem lttri 9124
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 lttr 9078 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1279 1  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1717   class class class wbr 4146   RRcr 8915    < clt 9046
This theorem is referenced by:  1lt3  10069  2lt4  10071  1lt4  10072  3lt5  10074  2lt5  10075  1lt5  10076  4lt6  10078  3lt6  10079  2lt6  10080  1lt6  10081  5lt7  10083  4lt7  10084  3lt7  10085  2lt7  10086  1lt7  10087  6lt8  10089  5lt8  10090  4lt8  10091  3lt8  10092  2lt8  10093  1lt8  10094  7lt9  10096  6lt9  10097  5lt9  10098  4lt9  10099  3lt9  10100  2lt9  10101  1lt9  10102  8lt10  10104  7lt10  10105  6lt10  10106  5lt10  10107  4lt10  10108  3lt10  10109  2lt10  10110  1lt10  10111  sincos2sgn  12715  epos  12726  dvdslelem  12814  oppcbas  13864  sralem  16169  zlmlem  16714  tnglem  18545  xrhmph  18836  vitalilem4  19363  pipos  20233  logneg  20342  asin1  20594  reasinsin  20596  atan1  20628  bposlem8  20935  bposlem9  20936  chebbnd1lem2  21024  chebbnd1lem3  21025  chebbnd1  21026  mulog2sumlem2  21089  pntibndlem1  21143  pntlemb  21151  pntlemk  21160  log2le1  24196  axlowdimlem16  25603  fdc  26133  ene1  27870
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-pre-lttrn 8991
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-ltxr 9051
  Copyright terms: Public domain W3C validator