MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri Unicode version

Theorem lttri 8961
Description: 'Less than' is transitive. Theorem I.17 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )

Proof of Theorem lttri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lt.3 . 2  |-  C  e.  RR
4 lttr 8915 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
51, 2, 3, 4mp3an 1277 1  |-  ( ( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   RRcr 8752    < clt 8883
This theorem is referenced by:  1lt3  9904  2lt4  9906  1lt4  9907  3lt5  9909  2lt5  9910  1lt5  9911  4lt6  9913  3lt6  9914  2lt6  9915  1lt6  9916  5lt7  9918  4lt7  9919  3lt7  9920  2lt7  9921  1lt7  9922  6lt8  9924  5lt8  9925  4lt8  9926  3lt8  9927  2lt8  9928  1lt8  9929  7lt9  9931  6lt9  9932  5lt9  9933  4lt9  9934  3lt9  9935  2lt9  9936  1lt9  9937  8lt10  9939  7lt10  9940  6lt10  9941  5lt10  9942  4lt10  9943  3lt10  9944  2lt10  9945  1lt10  9946  sincos2sgn  12490  epos  12501  dvdslelem  12589  oppcbas  13637  sralem  15946  zlmlem  16487  tnglem  18172  xrhmph  18461  vitalilem4  18982  pipos  19849  logneg  19957  asin1  20206  reasinsin  20208  atan1  20240  bposlem8  20546  bposlem9  20547  chebbnd1lem2  20635  chebbnd1lem3  20636  chebbnd1  20637  mulog2sumlem2  20700  pntibndlem1  20754  pntlemb  20762  pntlemk  20771  log2le1  23424  axlowdimlem16  24657  fdc  26558  ene1  28512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888
  Copyright terms: Public domain W3C validator