MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri2 Unicode version

Theorem lttri2 8949
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
lttri2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )

Proof of Theorem lttri2
StepHypRef Expression
1 ltso 8948 . . . 4  |-  <  Or  RR
2 sotrieq 4378 . . . 4  |-  ( (  <  Or  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  ( A  =  B  <->  -.  ( A  <  B  \/  B  < 
A ) ) )
31, 2mpan 651 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =  B  <->  -.  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
43bicomd 192 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  <  B  \/  B  <  A )  <->  A  =  B ) )
54necon1abid 2532 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   class class class wbr 4060    Or wor 4350   RRcr 8781    < clt 8912
This theorem is referenced by:  ne0gt0  8970  lttri2i  8977  lttri2d  9003  dvne0  19411  atanlogsub  20265  itg2addnclem2  25318  nn0prpw  25388  nerabdioph  26038  rpnnen3  26273  fmul01lt1lem1  26862  stoweidlem1  26898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-resscn 8839  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-ltxr 8917
  Copyright terms: Public domain W3C validator