MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri2i Unicode version

Theorem lttri2i 9151
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
lttri2i  |-  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  < 
A ) )

Proof of Theorem lttri2i
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 lt.2 . 2  |-  B  e.  RR
3 lttri2 9121 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  <  A ) ) )
41, 2, 3mp2an 654 1  |-  ( A  =/=  B  <->  ( A  <  B  \/  B  < 
A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    \/ wo 358    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180   RRcr 8953    < clt 9084
This theorem is referenced by:  nn0opthi  11526  dvdslelem  12857  divalglem6  12881
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-ltxr 9089
  Copyright terms: Public domain W3C validator