MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltweuz Structured version   Unicode version

Theorem ltweuz 11301
Description:  < is a well-founded relation on any sequence of upper integers. (Contributed by Andrew Salmon, 13-Nov-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltweuz  |-  <  We  ( ZZ>= `  A )

Proof of Theorem ltweuz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordom 4854 . . . . 5  |-  Ord  om
2 ordwe 4594 . . . . 5  |-  ( Ord 
om  ->  _E  We  om )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  _E  We  om
4 rdgeq2 6670 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  ->  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  =  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) ) )
54reseq1d 5145 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  -> 
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  |`  om ) )
6 isoeq1 6039 . . . . . . . 8  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  ->  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  A ) )  <-> 
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  A ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  -> 
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  A
)  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  A
) )  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  A ) ) ) )
8 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  -> 
( ZZ>= `  A )  =  ( ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) ) )
9 isoeq5 6043 . . . . . . . 8  |-  ( (
ZZ>= `  A )  =  ( ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  A ) )  <-> 
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) ) ) ) )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  =  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  -> 
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  A ) )  <->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) ) ) ) )
11 0z 10293 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
1211elimel 3791 . . . . . . . 8  |-  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 )  e.  ZZ
13 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  =  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )
1412, 13om2uzisoi 11294 . . . . . . 7  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  if ( A  e.  ZZ ,  A , 
0 ) )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  if ( A  e.  ZZ ,  A ,  0 ) ) )
157, 10, 14dedth2v 3784 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  ( ZZ>= `  A ) ) )
16 isocnv 6050 . . . . . 6  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  _E  ,  <  ( om ,  (
ZZ>= `  A ) )  ->  `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  <  ,  _E  (
( ZZ>= `  A ) ,  om ) )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om )  Isom  <  ,  _E  ( ( ZZ>= `  A
) ,  om )
)
18 dmres 5167 . . . . . . . 8  |-  dom  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )  =  ( om  i^i  dom 
rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A ) )
19 omex 7598 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
2019inex1 4344 . . . . . . . 8  |-  ( om 
i^i  dom  rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A ) )  e.  _V
2118, 20eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  dom  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )  e.  _V
22 cnvimass 5224 . . . . . . 7  |-  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om ) " y
)  C_  dom  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om )
2321, 22ssexi 4348 . . . . . 6  |-  ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om ) " y
)  e.  _V
2423ax-gen 1555 . . . . 5  |-  A. y
( `' ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  A )  |`  om ) " y )  e. 
_V
25 isowe2 6070 . . . . 5  |-  ( ( `' ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  A
)  |`  om )  Isom  <  ,  _E  ( ( ZZ>=
`  A ) ,  om )  /\  A. y ( `' ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  A )  |`  om ) " y )  e.  _V )  -> 
(  _E  We  om  ->  <  We  ( ZZ>= `  A ) ) )
2617, 24, 25sylancl 644 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (  _E  We  om  ->  <  We  ( ZZ>= `  A )
) )
273, 26mpi 17 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  <  We  ( ZZ>= `  A )
)
28 uzf 10491 . . . 4  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
2928fdmi 5596 . . 3  |-  dom  ZZ>=  =  ZZ
3027, 29eleq2s 2528 . 2  |-  ( A  e.  dom  ZZ>=  ->  <  We  ( ZZ>= `  A )
)
31 we0 4577 . . 3  |-  <  We  (/)
32 ndmfv 5755 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  ZZ>=  -> 
( ZZ>= `  A )  =  (/) )
33 weeq2 4571 . . . 4  |-  ( (
ZZ>= `  A )  =  (/)  ->  (  <  We  ( ZZ>= `  A )  <->  < 
We  (/) ) )
3432, 33syl 16 . . 3  |-  ( -.  A  e.  dom  ZZ>=  -> 
(  <  We  ( ZZ>=
`  A )  <->  <  We  (/) ) )
3531, 34mpbiri 225 . 2  |-  ( -.  A  e.  dom  ZZ>=  ->  <  We  ( ZZ>= `  A
) )
3630, 35pm2.61i 158 1  |-  <  We  ( ZZ>= `  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177   A.wal 1549    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    i^i cin 3319   (/)c0 3628   ifcif 3739   ~Pcpw 3799    e. cmpt 4266    _E cep 4492    We wwe 4540   Ord word 4580   omcom 4845   `'ccnv 4877   dom cdm 4878    |` cres 4880   "cima 4881   ` cfv 5454    Isom wiso 5455  (class class class)co 6081   reccrdg 6667   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488
This theorem is referenced by:  ltwenn  11302  ltwefz  11303  ltbwe  16533  dyadmax  19490  uzsinds  25491  bpolylem  26094
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489
  Copyright terms: Public domain W3C validator