MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltxrlt Unicode version

Theorem ltxrlt 8909
Description: The standard less-than  <RR and the extended real less-than  < are identical when restricted to the non-extended reals  RR. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltxrlt  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A 
<RR  B ) )

Proof of Theorem ltxrlt
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brun 4085 . . . . 5  |-  ( A ( ( ( RR  u.  {  -oo }
)  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) ) B  <->  ( A
( ( RR  u.  { 
-oo } )  X.  {  +oo } ) B  \/  A ( {  -oo }  X.  RR ) B ) )
2 brxp 4736 . . . . . . 7  |-  ( A ( ( RR  u.  { 
-oo } )  X.  {  +oo } ) B  <->  ( A  e.  ( RR  u.  {  -oo } )  /\  B  e.  {  +oo } ) )
3 elsni 3677 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  {  +oo }  ->  B  =  +oo )
4 pnfnre 8890 . . . . . . . . . . 11  |-  +oo  e/  RR
5 df-nel 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  (  +oo  e/  RR  <->  -.  +oo  e.  RR )
64, 5mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  -.  +oo  e.  RR
7 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
8 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  =  +oo  ->  ( B  e.  RR  <->  +oo  e.  RR ) )
97, 8syl5ib 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  +oo  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  +oo  e.  RR ) )
106, 9mtoi 169 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  +oo  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
113, 10syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  {  +oo }  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
1211adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( RR  u.  {  -oo }
)  /\  B  e.  { 
+oo } )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
132, 12sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( A ( ( RR  u.  { 
-oo } )  X.  {  +oo } ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
14 brxp 4736 . . . . . . 7  |-  ( A ( {  -oo }  X.  RR ) B  <->  ( A  e.  {  -oo }  /\  B  e.  RR )
)
15 elsni 3677 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  {  -oo }  ->  A  =  -oo )
16 mnfnre 8891 . . . . . . . . . . 11  |-  -oo  e/  RR
17 df-nel 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  (  -oo  e/  RR  <->  -.  -oo  e.  RR )
1816, 17mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  -.  -oo  e.  RR
19 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
20 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  =  -oo  ->  ( A  e.  RR  <->  -oo  e.  RR ) )
2119, 20syl5ib 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  -oo  ->  (
( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -oo  e.  RR ) )
2218, 21mtoi 169 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  -oo  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2315, 22syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  {  -oo }  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2423adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  {  -oo }  /\  B  e.  RR )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2514, 24sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( A ( {  -oo }  X.  RR ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2613, 25jaoi 368 . . . . 5  |-  ( ( A ( ( RR  u.  {  -oo }
)  X.  {  +oo } ) B  \/  A
( {  -oo }  X.  RR ) B )  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
271, 26sylbi 187 . . . 4  |-  ( A ( ( ( RR  u.  {  -oo }
)  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) ) B  ->  -.  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
2827con2i 112 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  -.  A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( {  -oo }  X.  RR ) ) B )
29 biimt 325 . . . 4  |-  ( -.  A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) ) B  -> 
( A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B  <->  ( -.  A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( {  -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) ) )
30 df-ltxr 8888 . . . . . . 7  |-  <  =  ( { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) }  u.  (
( ( RR  u.  { 
-oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( {  -oo }  X.  RR ) ) )
3130equncomi 3334 . . . . . 6  |-  <  =  ( ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } )
3231breqi 4045 . . . . 5  |-  ( A  <  B  <->  A (
( ( ( RR  u.  {  -oo }
)  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } ) B )
33 brun 4085 . . . . 5  |-  ( A ( ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) )  u.  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } ) B  <-> 
( A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( {  -oo }  X.  RR ) ) B  \/  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
34 df-or 359 . . . . 5  |-  ( ( A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) ) B  \/  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B )  <-> 
( -.  A ( ( ( RR  u.  { 
-oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( {  -oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3532, 33, 343bitri 262 . . . 4  |-  ( A  <  B  <->  ( -.  A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) ) B  ->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3629, 35syl6rbbr 255 . . 3  |-  ( -.  A ( ( ( RR  u.  {  -oo } )  X.  {  +oo } )  u.  ( { 
-oo }  X.  RR ) ) B  -> 
( A  <  B  <->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
3728, 36syl 15 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
38 breq12 4044 . . . 4  |-  ( ( x  =  A  /\  y  =  B )  ->  ( x  <RR  y  <->  A  <RR  B ) )
39 df-3an 936 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  x  <RR  y ) )
4039opabbii 4099 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) }  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  x  <RR  y ) }
4138, 40brab2ga 4779 . . 3  |-  ( A { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B  <->  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <RR  B ) )
4241baibr 872 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <RR  B  <->  A { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  x  <RR  y ) } B ) )
4337, 42bitr4d 247 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  A 
<RR  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    e/ wnel 2460    u. cun 3163   {csn 3653   class class class wbr 4039   {copab 4092    X. cxp 4703   RRcr 8752    <RR cltrr 8757    +oocpnf 8880    -oocmnf 8881    < clt 8883
This theorem is referenced by:  axlttri  8910  axlttrn  8911  axltadd  8912  axmulgt0  8913  axsup  8914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888
  Copyright terms: Public domain W3C validator