MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubel Unicode version

Theorem lubel 14242
Description: An element of a set is less than or equal to the least upper bound of the set. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lublem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lublem.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubel  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  S  /\  S  C_  B )  ->  X  .<_  ( U `  S
) )

Proof of Theorem lubel
StepHypRef Expression
1 clatl 14236 . . . 4  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )
2 ssel 3187 . . . . 5  |-  ( S 
C_  B  ->  ( X  e.  S  ->  X  e.  B ) )
32impcom 419 . . . 4  |-  ( ( X  e.  S  /\  S  C_  B )  ->  X  e.  B )
4 lublem.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 lublem.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
64, 5lubsn 14216 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B )  ->  ( U `  { X } )  =  X )
71, 3, 6syl2an 463 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( X  e.  S  /\  S  C_  B ) )  ->  ( U `  { X } )  =  X )
873impb 1147 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  S  /\  S  C_  B )  ->  ( U `  { X } )  =  X )
9 snssi 3775 . . . 4  |-  ( X  e.  S  ->  { X }  C_  S )
10 lublem.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
114, 10, 5lubss 14241 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  { X }  C_  S )  -> 
( U `  { X } )  .<_  ( U `
 S ) )
129, 11syl3an3 1217 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  X  e.  S )  ->  ( U `  { X } )  .<_  ( U `
 S ) )
13123com23 1157 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  S  /\  S  C_  B )  ->  ( U `  { X } )  .<_  ( U `
 S ) )
148, 13eqbrtrrd 4061 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  X  e.  S  /\  S  C_  B )  ->  X  .<_  ( U `  S
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   {csn 3653   class class class wbr 4039   ` cfv 5271   Basecbs 13164   lecple 13231   lubclub 14092   Latclat 14167   CLatccla 14229
This theorem is referenced by:  lubun  14243  lubunNEW  29785  atlatmstc  30131  2polssN  30726
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-lub 14124  df-join 14126  df-meet 14127  df-lat 14168  df-clat 14230
  Copyright terms: Public domain W3C validator