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Theorem lubfval 14362
Description: Value of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubfval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubfval  |-  ( K  e.  A  ->  U  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, s,
z, B    y, s, K, x, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, s)    B( y)    U( x, y, z, s)    .<_ ( x, y, z, s)

Proof of Theorem lubfval
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2907 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  K  e.  _V )
2 lubfval.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
3 fveq2 5668 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  ( Base `  K
) )
4 lubfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
53, 4syl6eqr 2437 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  B )
65pweqd 3747 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  ~P ( Base `  p )  =  ~P B )
7 fveq2 5668 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  =  ( le `  K
) )
8 lubfval.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
97, 8syl6eqr 2437 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  = 
.<_  )
109breqd 4164 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  (
y ( le `  p ) x  <->  y  .<_  x ) )
1110ralbidv 2669 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
y ( le `  p ) x  <->  A. y  e.  s  y  .<_  x ) )
129breqd 4164 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  (
y ( le `  p ) z  <->  y  .<_  z ) )
1312ralbidv 2669 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
y ( le `  p ) z  <->  A. y  e.  s  y  .<_  z ) )
149breqd 4164 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  (
x ( le `  p ) z  <->  x  .<_  z ) )
1513, 14imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
165, 15raleqbidv 2859 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le `  p ) z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
1711, 16anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
185, 17riotaeqbidv 6488 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
196, 18mpteq12dv 4228 . . . 4  |-  ( p  =  K  ->  (
s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) )
20 df-lub 14358 . . . 4  |-  lub  =  ( p  e.  _V  |->  ( s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  p )
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) ) ) ) )
21 fvex 5682 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
224, 21eqeltri 2457 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2322pwex 4323 . . . . 5  |-  ~P B  e.  _V
2423mptex 5905 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  e.  _V
2519, 20, 24fvmpt 5745 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( lub `  K )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
262, 25syl5eq 2431 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  U  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
271, 26syl 16 1  |-  ( K  e.  A  ->  U  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2649   _Vcvv 2899   ~Pcpw 3742   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ` cfv 5394   iota_crio 6478   Basecbs 13396   lecple 13463   lubclub 14326
This theorem is referenced by:  lubval  14363  oduglb  14493  odulub  14495
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-riota 6485  df-lub 14358
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