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Theorem lubfval 14128
Description: Value of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubfval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubfval  |-  ( K  e.  A  ->  U  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, s,
z, B    y, s, K, x, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, s)    B( y)    U( x, y, z, s)    .<_ ( x, y, z, s)

Proof of Theorem lubfval
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  K  e.  _V )
2 lubfval.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
3 fveq2 5541 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  ( Base `  K
) )
4 lubfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
53, 4syl6eqr 2346 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  B )
65pweqd 3643 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  ~P ( Base `  p )  =  ~P B )
7 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  =  ( le `  K
) )
8 lubfval.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
97, 8syl6eqr 2346 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  = 
.<_  )
109breqd 4050 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  (
y ( le `  p ) x  <->  y  .<_  x ) )
1110ralbidv 2576 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
y ( le `  p ) x  <->  A. y  e.  s  y  .<_  x ) )
129breqd 4050 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  (
y ( le `  p ) z  <->  y  .<_  z ) )
1312ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
y ( le `  p ) z  <->  A. y  e.  s  y  .<_  z ) )
149breqd 4050 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  (
x ( le `  p ) z  <->  x  .<_  z ) )
1513, 14imbi12d 311 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
165, 15raleqbidv 2761 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le `  p ) z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
1711, 16anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
185, 17riotaeqbidv 6323 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
196, 18mpteq12dv 4114 . . . 4  |-  ( p  =  K  ->  (
s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) )
20 df-lub 14124 . . . 4  |-  lub  =  ( p  e.  _V  |->  ( s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  p )
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) ) ) ) )
21 fvex 5555 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
224, 21eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2322pwex 4209 . . . . 5  |-  ~P B  e.  _V
2423mptex 5762 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  e.  _V
2519, 20, 24fvmpt 5618 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( lub `  K )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
262, 25syl5eq 2340 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  U  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
271, 26syl 15 1  |-  ( K  e.  A  ->  U  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801   ~Pcpw 3638   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271   iota_crio 6313   Basecbs 13164   lecple 13231   lubclub 14092
This theorem is referenced by:  lubval  14129  oduglb  14259  odulub  14261
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 6320  df-lub 14124
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