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Theorem lubfval 14427
Description: Value of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubfval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubfval  |-  ( K  e.  A  ->  U  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, s,
z, B    y, s, K, x, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z, s)    B( y)    U( x, y, z, s)    .<_ ( x, y, z, s)

Proof of Theorem lubfval
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  K  e.  _V )
2 lubfval.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
3 fveq2 5720 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  ( Base `  K
) )
4 lubfval.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
53, 4syl6eqr 2485 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  ( Base `  p )  =  B )
65pweqd 3796 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  ~P ( Base `  p )  =  ~P B )
7 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  =  ( le `  K
) )
8 lubfval.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
97, 8syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  ( le `  p )  = 
.<_  )
109breqd 4215 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  (
y ( le `  p ) x  <->  y  .<_  x ) )
1110ralbidv 2717 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
y ( le `  p ) x  <->  A. y  e.  s  y  .<_  x ) )
129breqd 4215 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  K  ->  (
y ( le `  p ) z  <->  y  .<_  z ) )
1312ralbidv 2717 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  ( A. y  e.  s 
y ( le `  p ) z  <->  A. y  e.  s  y  .<_  z ) )
149breqd 4215 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  K  ->  (
x ( le `  p ) z  <->  x  .<_  z ) )
1513, 14imbi12d 312 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
165, 15raleqbidv 2908 . . . . . . 7  |-  ( p  =  K  ->  ( A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le `  p ) z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )
1711, 16anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( p  =  K  ->  (
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) )  <->  ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
185, 17riotaeqbidv 6544 . . . . 5  |-  ( p  =  K  ->  ( iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
196, 18mpteq12dv 4279 . . . 4  |-  ( p  =  K  ->  (
s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  (
iota_ x  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p ) ( A. y  e.  s  y
( le `  p
) z  ->  x
( le `  p
) z ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) )
20 df-lub 14423 . . . 4  |-  lub  =  ( p  e.  _V  |->  ( s  e.  ~P ( Base `  p )  |->  ( iota_ x  e.  (
Base `  p )
( A. y  e.  s  y ( le
`  p ) x  /\  A. z  e.  ( Base `  p
) ( A. y  e.  s  y ( le `  p ) z  ->  x ( le
`  p ) z ) ) ) ) )
21 fvex 5734 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  e.  _V
224, 21eqeltri 2505 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
2322pwex 4374 . . . . 5  |-  ~P B  e.  _V
2423mptex 5958 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  e.  _V
2519, 20, 24fvmpt 5798 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( lub `  K )  =  ( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
262, 25syl5eq 2479 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  U  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
271, 26syl 16 1  |-  ( K  e.  A  ->  U  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948   ~Pcpw 3791   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446   iota_crio 6534   Basecbs 13461   lecple 13528   lubclub 14391
This theorem is referenced by:  lubval  14428  oduglb  14558  odulub  14560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-riota 6541  df-lub 14423
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