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Theorem lubid 14116
Description: The LUB of elements less than or equal to a fixed value equals that value. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubid.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubid.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubid.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubid  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
Distinct variable groups:    y, B    y, 
.<_    y, X
Allowed substitution hints:    U( y)    K( y)

Proof of Theorem lubid
Dummy variables  x  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3258 . . . 4  |-  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }  C_  B
2 lubid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 lubid.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 lubid.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
52, 3, 4lubval 14113 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X }  C_  B )  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. z  e. 
{ y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) ) )
61, 5mpan2 652 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) ) )
76adantr 451 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. z  e. 
{ y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) ) )
8 simpr 447 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
9 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  .<_  X  <->  z  .<_  X ) )
109ralrab 2927 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  x 
<-> 
A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x ) )
119ralrab 2927 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w 
<-> 
A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w ) )
1211imbi1i 315 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  w  ->  x  .<_  w )  <->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
1312ralbii 2567 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w )  <->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
1410, 13anbi12i 678 . . . 4  |-  ( ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) ) )
152, 3posref 14085 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  X )
16 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  X  <->  X  .<_  X ) )
17 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  x  <->  X  .<_  x ) )
1816, 17imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  <->  ( X  .<_  X  ->  X  .<_  x ) ) )
1918rspcva 2882 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z 
.<_  x ) )  -> 
( X  .<_  X  ->  X  .<_  x ) )
2015, 19syl5com 26 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x ) )  ->  X  .<_  x ) )
218, 20mpand 656 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  ->  X  .<_  x ) )
2221adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  ->  X  .<_  x ) )
23 idd 21 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  B  ->  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  X ) )
2423rgen 2608 . . . . . . . 8  |-  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X )
25 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  (
z  .<_  w  <->  z  .<_  X ) )
2625imbi2d 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  (
( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  <->  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X ) ) )
2726ralbidv 2563 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  X  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  <->  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X ) ) )
28 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  X  ->  (
x  .<_  w  <->  x  .<_  X ) )
2927, 28imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  X  ->  (
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  <-> 
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X )  ->  x  .<_  X ) ) )
3029rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  -> 
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X )  ->  x  .<_  X ) ) )
3124, 30mpii 39 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  ->  x  .<_  X ) )
3231ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  ->  x  .<_  X ) )
332, 3posasymb 14086 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  <->  x  =  X ) )
3433biimpd 198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  ->  x  =  X )
)
35343com23 1157 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  ->  x  =  X )
)
36353expa 1151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( (
x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  ->  x  =  X ) )
3736ancomsd 440 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( X  .<_  x  /\  x  .<_  X )  ->  x  =  X ) )
3822, 32, 37syl2and 469 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )  ->  x  =  X ) )
39 breq2 4027 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  X ) )
4039biimprd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )
4140ralrimivw 2627 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )
4241adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  X  e.  B
)  /\  x  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )
43 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  X  e.  B )
44 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  w  <->  X  .<_  w ) )
4516, 44imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  <->  ( X  .<_  X  ->  X  .<_  w ) ) )
4645rspcva 2882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z 
.<_  w ) )  -> 
( X  .<_  X  ->  X  .<_  w ) )
47 pm5.5 326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X 
.<_  X  ->  ( ( X  .<_  X  ->  X  .<_  w )  <->  X  .<_  w ) )
4815, 47syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  .<_  X  ->  X  .<_  w )  <->  X  .<_  w ) )
49 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  w  <->  X  .<_  w ) )
5049bicomd 192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  ( X  .<_  w  <->  x  .<_  w ) )
5148, 50sylan9bb 680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( ( X  .<_  X  ->  X  .<_  w )  <->  x  .<_  w ) )
5246, 51syl5ib 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z 
.<_  w ) )  ->  x  .<_  w ) )
5343, 52mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
5453ralrimivw 2627 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
5554adantlr 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  X  e.  B
)  /\  x  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
5642, 55jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  X  e.  B
)  /\  x  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) ) )
5756ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  =  X  ->  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) ) ) )
5838, 57impbid 183 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )  <-> 
x  =  X ) )
5914, 58syl5bb 248 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  x  =  X ) )
608, 59riota5 6330 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )  =  X )
617, 60eqtrd 2315 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255   iota_crio 6297   Basecbs 13148   lecple 13215   Posetcpo 14074   lubclub 14076
This theorem is referenced by:  atlatmstc  29509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 6304  df-poset 14080  df-lub 14108
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