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Theorem lubid 14441
Description: The LUB of elements less than or equal to a fixed value equals that value. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubid.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubid.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubid.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubid  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
Distinct variable groups:    y, B    y, 
.<_    y, X
Allowed substitution hints:    U( y)    K( y)

Proof of Theorem lubid
Dummy variables  x  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3430 . . . 4  |-  { y  e.  B  |  y 
.<_  X }  C_  B
2 lubid.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 lubid.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
4 lubid.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
52, 3, 4lubval 14438 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X }  C_  B )  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. z  e. 
{ y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) ) )
61, 5mpan2 654 . . 3  |-  ( K  e.  Poset  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) ) )
76adantr 453 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. z  e. 
{ y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) ) )
8 simpr 449 . . 3  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  X  e.  B )
9 breq1 4217 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  .<_  X  <->  z  .<_  X ) )
109ralrab 3098 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  x 
<-> 
A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x ) )
119ralrab 3098 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w 
<-> 
A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w ) )
1211imbi1i 317 . . . . . 6  |-  ( ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  w  ->  x  .<_  w )  <->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
1312ralbii 2731 . . . . 5  |-  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w )  <->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
1410, 13anbi12i 680 . . . 4  |-  ( ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) ) )
152, 3posref 14410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  X  .<_  X )
16 breq1 4217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  X  <->  X  .<_  X ) )
17 breq1 4217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  x  <->  X  .<_  x ) )
1816, 17imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  <->  ( X  .<_  X  ->  X  .<_  x ) ) )
1918rspcva 3052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z 
.<_  x ) )  -> 
( X  .<_  X  ->  X  .<_  x ) )
2015, 19syl5com 29 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x ) )  ->  X  .<_  x ) )
218, 20mpand 658 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  ->  X  .<_  x ) )
2221adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  ->  X  .<_  x ) )
23 idd 23 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  B  ->  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  X ) )
2423rgen 2773 . . . . . . . 8  |-  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X )
25 breq2 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  X  ->  (
z  .<_  w  <->  z  .<_  X ) )
2625imbi2d 309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  X  ->  (
( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  <->  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X ) ) )
2726ralbidv 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  X  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  <->  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X ) ) )
28 breq2 4218 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  X  ->  (
x  .<_  w  <->  x  .<_  X ) )
2927, 28imbi12d 313 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  X  ->  (
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  <-> 
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X )  ->  x  .<_  X ) ) )
3029rspcv 3050 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  -> 
( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  X )  ->  x  .<_  X ) ) )
3124, 30mpii 42 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  ->  x  .<_  X ) )
3231ad2antlr 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w )  ->  x  .<_  X ) )
332, 3posasymb 14411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  <->  x  =  X ) )
3433biimpd 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  x  e.  B  /\  X  e.  B )  ->  (
( x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  ->  x  =  X )
)
35343com23 1160 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  (
( x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  ->  x  =  X )
)
36353expa 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( (
x  .<_  X  /\  X  .<_  x )  ->  x  =  X ) )
3736ancomsd 442 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( X  .<_  x  /\  x  .<_  X )  ->  x  =  X ) )
3822, 32, 37syl2and 471 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )  ->  x  =  X ) )
39 breq2 4218 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  X  ->  (
z  .<_  x  <->  z  .<_  X ) )
4039biimprd 216 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  X  ->  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )
4140ralrimivw 2792 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  X  ->  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )
4241adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  X  e.  B
)  /\  x  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z  .<_  x ) )
43 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  X  e.  B )
44 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
z  .<_  w  <->  X  .<_  w ) )
4516, 44imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  (
( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  <->  ( X  .<_  X  ->  X  .<_  w ) ) )
4645rspcva 3052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z 
.<_  w ) )  -> 
( X  .<_  X  ->  X  .<_  w ) )
47 pm5.5 328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X 
.<_  X  ->  ( ( X  .<_  X  ->  X  .<_  w )  <->  X  .<_  w ) )
4815, 47syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  (
( X  .<_  X  ->  X  .<_  w )  <->  X  .<_  w ) )
49 breq1 4217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  X  ->  (
x  .<_  w  <->  X  .<_  w ) )
5049bicomd 194 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  ( X  .<_  w  <->  x  .<_  w ) )
5148, 50sylan9bb 682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( ( X  .<_  X  ->  X  .<_  w )  <->  x  .<_  w ) )
5246, 51syl5ib 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( ( X  e.  B  /\  A. z  e.  B  ( z  .<_  X  ->  z 
.<_  w ) )  ->  x  .<_  w ) )
5343, 52mpand 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
5453ralrimivw 2792 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
5554adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  X  e.  B
)  /\  x  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )
5642, 55jca 520 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Poset  /\  X  e.  B
)  /\  x  e.  B )  /\  x  =  X )  ->  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) ) )
5756ex 425 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( x  =  X  ->  ( A. z  e.  B  (
z  .<_  X  ->  z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) ) ) )
5838, 57impbid 185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  x )  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  B  ( z  .<_  X  -> 
z  .<_  w )  ->  x  .<_  w ) )  <-> 
x  =  X ) )
5914, 58syl5bb 250 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  /\  x  e.  B
)  ->  ( ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y 
.<_  X } z  .<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X }
z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) )  <->  x  =  X ) )
608, 59riota5 6577 . 2  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. z  e.  {
y  e.  B  | 
y  .<_  X } z 
.<_  x  /\  A. w  e.  B  ( A. z  e.  { y  e.  B  |  y  .<_  X } z  .<_  w  ->  x  .<_  w ) ) )  =  X )
617, 60eqtrd 2470 1  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  X  e.  B )  ->  ( U `  { y  e.  B  |  y  .<_  X } )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   class class class wbr 4214   ` cfv 5456   iota_crio 6544   Basecbs 13471   lecple 13538   Posetcpo 14399   lubclub 14401
This theorem is referenced by:  atlatmstc  30179
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-riota 6551  df-poset 14405  df-lub 14433
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