MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lublem Unicode version

Theorem lublem 14321
Description: Lemma for the least upper bound properties in a complete lattice. (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lublem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lublem.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lublem  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    y, z, K    y, S, z    y, U, z
Allowed substitution hints:    B( y)    .<_ ( y, z)

Proof of Theorem lublem
StepHypRef Expression
1 lublem.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lublem.u . . 3  |-  U  =  ( lub `  K
)
31, 2clatlubcl 14316 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )
4 lublem.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
51, 4, 2lubprop 14213 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  ( U `
 S )  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
63, 5mpd3an3 1278 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   ` cfv 5337   Basecbs 13245   lecple 13312   lubclub 14175   CLatccla 14312
This theorem is referenced by:  lubub  14322  lubl  14323
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-undef 6385  df-riota 6391  df-lub 14207  df-clat 14313
  Copyright terms: Public domain W3C validator