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Theorem lubprop 14357
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubprop  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    y, z, K    y, S, z    y, U, z
Allowed substitution hints:    A( y, z)    B( y)    .<_ ( y, z)

Proof of Theorem lubprop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lubval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lubval.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
41, 2, 3lubval 14356 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
543adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  ( U `  S )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
65eqcomd 2385 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( U `  S ) )
7 simp3 959 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )
85, 7eqeltrrd 2455 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  e.  B )
9 fvex 5675 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
101, 9eqeltri 2450 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
1110riotaclb 6519 . . . 4  |-  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  e.  B )
128, 11sylibr 204 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
13 breq2 4150 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
y  .<_  x  <->  y  .<_  ( U `  S ) ) )
1413ralbidv 2662 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  <->  A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S ) ) )
15 breq1 4149 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
x  .<_  z  <->  ( U `  S )  .<_  z ) )
1615imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
1716ralbidv 2662 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
1814, 17anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S
)  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) ) )
1918riota2 6501 . . 3  |-  ( ( ( U `  S
)  e.  B  /\  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S
)  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( U `  S ) ) )
207, 12, 19syl2anc 643 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `
 S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( U `  S
) ) )
216, 20mpbird 224 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   E!wreu 2644   _Vcvv 2892    C_ wss 3256   class class class wbr 4146   ` cfv 5387   iota_crio 6471   Basecbs 13389   lecple 13456   lubclub 14319
This theorem is referenced by:  luble  14358  lublem  14465
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-undef 6472  df-riota 6478  df-lub 14351
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