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Theorem lubprop 14430
Description: Properties of greatest lower bound of a poset. (Contributed by NM, 22-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubprop  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
Distinct variable groups:    z, B    y, z, K    y, S, z    y, U, z
Allowed substitution hints:    A( y, z)    B( y)    .<_ ( y, z)

Proof of Theorem lubprop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubval.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lubval.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lubval.u . . . . 5  |-  U  =  ( lub `  K
)
41, 2, 3lubval 14429 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
543adant3 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  ( U `  S )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
65eqcomd 2441 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( U `  S ) )
7 simp3 959 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )
85, 7eqeltrrd 2511 . . . 4  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  e.  B )
9 fvex 5735 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  e.  _V
101, 9eqeltri 2506 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
1110riotaclb 6583 . . . 4  |-  ( E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  e.  B )
128, 11sylibr 204 . . 3  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
13 breq2 4209 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
y  .<_  x  <->  y  .<_  ( U `  S ) ) )
1413ralbidv 2718 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  <->  A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S ) ) )
15 breq1 4208 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
x  .<_  z  <->  ( U `  S )  .<_  z ) )
1615imbi2d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
1716ralbidv 2718 . . . . 5  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
1814, 17anbi12d 692 . . . 4  |-  ( x  =  ( U `  S )  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S
)  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) ) )
1918riota2 6565 . . 3  |-  ( ( ( U `  S
)  e.  B  /\  E! x  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  ->  ( ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S
)  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( U `  S ) ) )
207, 12, 19syl2anc 643 . 2  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  (
( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `
 S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) )  <->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  =  ( U `  S
) ) )
216, 20mpbird 224 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B  /\  ( U `  S )  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y  .<_  ( U `  S )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  ( U `  S )  .<_  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2698   E!wreu 2700   _Vcvv 2949    C_ wss 3313   class class class wbr 4205   ` cfv 5447   iota_crio 6535   Basecbs 13462   lecple 13529   lubclub 14392
This theorem is referenced by:  luble  14431  lublem  14538
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-iun 4088  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-undef 6536  df-riota 6542  df-lub 14424
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