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Theorem lubun 14437
Description: The LUB of a union. (Contributed by NM, 5-Mar-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lubun.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubun.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lubun.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubun  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  ( S  u.  T ) )  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) )

Proof of Theorem lubun
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 956 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  K  e.  CLat )
2 unss 3437 . . . . 5  |-  ( ( S  C_  B  /\  T  C_  B )  <->  ( S  u.  T )  C_  B
)
32biimpi 186 . . . 4  |-  ( ( S  C_  B  /\  T  C_  B )  -> 
( S  u.  T
)  C_  B )
433adant1 974 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( S  u.  T )  C_  B )
5 lubun.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 eqid 2366 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
7 lubun.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
85, 6, 7lubval 14323 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( S  u.  T )  C_  B )  ->  ( U `  ( S  u.  T ) )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )
91, 4, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  ( S  u.  T ) )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )
10 clatl 14430 . . . . 5  |-  ( K  e.  CLat  ->  K  e. 
Lat )
11103ad2ant1 977 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  K  e.  Lat )
125, 7clatlubcl 14427 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )
13123adant3 976 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  S )  e.  B )
145, 7clatlubcl 14427 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  T )  e.  B )
15143adant2 975 . . . 4  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  T )  e.  B )
16 lubun.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
175, 16latjcl 14366 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T )  e.  B )  ->  (
( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  e.  B )
1811, 13, 15, 17syl3anc 1183 . . 3  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  (
( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  e.  B )
19 simpl1 959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  CLat )
2019, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  K  e.  Lat )
21 simpl2 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  S  C_  B )
22 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  S )
2321, 22sseldd 3267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y  e.  B )
2419, 21, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( U `  S
)  e.  B )
25 simpl3 961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  T  C_  B )
2619, 25, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( U `  T
)  e.  B )
2720, 24, 26, 17syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )
285, 6, 7lubel 14436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  y  e.  S  /\  S  C_  B )  ->  y
( le `  K
) ( U `  S ) )
2919, 22, 21, 28syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y ( le `  K ) ( U `
 S ) )
305, 6, 16latlej1 14376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T )  e.  B )  ->  ( U `  S )
( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) )
3120, 24, 26, 30syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  ( U `  S
) ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
325, 6, 20, 23, 24, 27, 29, 31lattrd 14374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  S )  ->  y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
3332ralrimiva 2711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. y  e.  S  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
3411adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  K  e.  Lat )
35 simpl3 961 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  T  C_  B )
36 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  T )
3735, 36sseldd 3267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  y  e.  B )
38 simpl1 959 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  K  e.  CLat )
3938, 35, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  ( U `  T
)  e.  B )
4018adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )
415, 6, 7lubel 14436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  y  e.  T  /\  T  C_  B )  ->  y
( le `  K
) ( U `  T ) )
4238, 36, 35, 41syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  y ( le `  K ) ( U `
 T ) )
43 simpl2 960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  S  C_  B )
4438, 43, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  ( U `  S
)  e.  B )
455, 6, 16latlej2 14377 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T )  e.  B )  ->  ( U `  T )
( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) )
4634, 44, 39, 45syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  ( U `  T
) ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
475, 6, 34, 37, 39, 40, 42, 46lattrd 14374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  T )  ->  y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
4847ralrimiva 2711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. y  e.  T  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
49 ralunb 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  <->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  /\  A. y  e.  T  y ( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ) )
5033, 48, 49sylanbrc 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
51 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( y
( le `  K
) z  <->  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
5251ralbidv 2648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  <->  A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) )
53 breq2 4129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( x
( le `  K
) z  <->  x ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
5452, 53imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  <-> 
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) ) )
5554rspcv 2965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  e.  B  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) ) )
5618, 55syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) ) )
5750, 56mpid 37 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  ->  x ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
5857imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
5958ad2ant2rl 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  ->  x ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
60 ralunb 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  <->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) x  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) x ) )
61 simpl1 959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  K  e.  CLat )
62 simpl2 960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  S  C_  B )
63 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
645, 6, 7lubl 14434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) x  -> 
( U `  S
) ( le `  K ) x ) )
6561, 62, 63, 64syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y ( le
`  K ) x  ->  ( U `  S ) ( le
`  K ) x ) )
66 simpl3 961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  T  C_  B )
675, 6, 7lubl 14434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  T  y ( le `  K ) x  -> 
( U `  T
) ( le `  K ) x ) )
6861, 66, 63, 67syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  T  y ( le
`  K ) x  ->  ( U `  T ) ( le
`  K ) x ) )
6965, 68anim12d 546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) x  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) x )  ->  ( ( U `  S )
( le `  K
) x  /\  ( U `  T )
( le `  K
) x ) ) )
7061, 10syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
7113adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( U `  S
)  e.  B )
7215adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( U `  T
)  e.  B )
735, 6, 16latjle12 14378 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T
)  e.  B  /\  x  e.  B )
)  ->  ( (
( U `  S
) ( le `  K ) x  /\  ( U `  T ) ( le `  K
) x )  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x ) )
7470, 71, 72, 63, 73syl13anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( ( U `
 S ) ( le `  K ) x  /\  ( U `
 T ) ( le `  K ) x )  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x ) )
7569, 74sylibd 205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) x  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) x )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x ) )
7660, 75syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  ->  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ( le `  K ) x ) )
7776imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x )
7877adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  -> 
( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ( le `  K ) x )
7918adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )
805, 6latasymb 14370 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  B  /\  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )  ->  ( ( x ( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  /\  ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ( le `  K ) x )  <->  x  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ) )
8170, 63, 79, 80syl3anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( x ( le `  K ) ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  /\  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x )  <->  x  =  (
( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
8281adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  -> 
( ( x ( le `  K ) ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  /\  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) x )  <->  x  =  (
( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
8359, 78, 82mpbi2and 887 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B
)  /\  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  ->  x  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) )
8483ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) )  ->  x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ) )
85 elun 3404 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( S  u.  T )  <->  ( y  e.  S  \/  y  e.  T ) )
8632, 47jaodan 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  ( y  e.  S  \/  y  e.  T
) )  ->  y
( le `  K
) ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) )
8785, 86sylan2b 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  y  e.  ( S  u.  T ) )  -> 
y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) )
8887ralrimiva 2711 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
89 ralunb 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  <->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) z  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) z ) )
90 simpl1 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  K  e.  CLat )
91 simpl2 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  S  C_  B )
92 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  B )
935, 6, 7lubl 14434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) z  -> 
( U `  S
) ( le `  K ) z ) )
9490, 91, 92, 93syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  S  y ( le
`  K ) z  ->  ( U `  S ) ( le
`  K ) z ) )
95 simpl3 961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  T  C_  B )
965, 6, 7lubl 14434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  B  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  T  y ( le `  K ) z  -> 
( U `  T
) ( le `  K ) z ) )
9790, 95, 92, 96syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  T  y ( le
`  K ) z  ->  ( U `  T ) ( le
`  K ) z ) )
9894, 97anim12d 546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  S  y ( le `  K ) z  /\  A. y  e.  T  y ( le
`  K ) z )  ->  ( ( U `  S )
( le `  K
) z  /\  ( U `  T )
( le `  K
) z ) ) )
9989, 98syl5bi 208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  ( ( U `
 S ) ( le `  K ) z  /\  ( U `
 T ) ( le `  K ) z ) ) )
10090, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  K  e.  Lat )
10190, 91, 12syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( U `  S
)  e.  B )
10290, 95, 14syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( U `  T
)  e.  B )
1035, 6, 16latjle12 14378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( U `  S )  e.  B  /\  ( U `  T
)  e.  B  /\  z  e.  B )
)  ->  ( (
( U `  S
) ( le `  K ) z  /\  ( U `  T ) ( le `  K
) z )  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) z ) )
104100, 101, 102, 92, 103syl13anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( ( ( U `
 S ) ( le `  K ) z  /\  ( U `
 T ) ( le `  K ) z )  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) z ) )
10599, 104sylibd 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  z  e.  B )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ( le `  K ) z ) )
106105ralrimiva 2711 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) z ) )
107 breq2 4129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( y
( le `  K
) x  <->  y ( le `  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) ) )
108107ralbidv 2648 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  <->  A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) ) ) )
109 breq1 4128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( x
( le `  K
) z  <->  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T
) ) ( le
`  K ) z ) )
110109imbi2d 307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  <-> 
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) ) ( le `  K ) z ) ) )
111110ralbidv 2648 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  -> 
( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ( le `  K ) z ) ) )
112108, 111anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T )
y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) )  <->  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  -> 
( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ( le `  K ) z ) ) ) )
113112biimprcd 216 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) )  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  -> 
( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ( le `  K ) z ) )  ->  ( x  =  ( ( U `
 S )  .\/  ( U `  T ) )  ->  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) ) )
11488, 106, 113syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  (
x  =  ( ( U `  S ) 
.\/  ( U `  T ) )  -> 
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )
115114adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( x  =  ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) )  -> 
( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) ) )
11684, 115impbid 183 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) )  <->  x  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ) )
1171163adant2 975 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B  /\  x  e.  B )  ->  ( ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) )  <->  x  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) ) )
118117riota5OLD 6473 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  /\  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
)  e.  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T
) y ( le
`  K ) z  ->  x ( le
`  K ) z ) ) )  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) )
11918, 118mpdan 649 . 2  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  ( S  u.  T ) y ( le `  K ) z  ->  x ( le `  K ) z ) ) )  =  ( ( U `  S
)  .\/  ( U `  T ) ) )
1209, 119eqtrd 2398 1  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  B  /\  T  C_  B )  ->  ( U `  ( S  u.  T ) )  =  ( ( U `  S )  .\/  ( U `  T )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 935    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628    u. cun 3236    C_ wss 3238   class class class wbr 4125   ` cfv 5358  (class class class)co 5981   iota_crio 6439   Basecbs 13356   lecple 13423   lubclub 14286   joincjn 14288   Latclat 14361   CLatccla 14423
This theorem is referenced by:  paddunN  30187  poldmj1N  30188
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-id 4412  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-undef 6440  df-riota 6446  df-poset 14290  df-lub 14318  df-join 14320  df-meet 14321  df-lat 14362  df-clat 14424
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