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Theorem lubval 14391
Description: Value of the least upper bound of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubval.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
lubval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lubval.u  |-  U  =  ( lub `  K
)
Assertion
Ref Expression
lubval  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, z, B    x, y, K, z   
x, S, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)    B( y)    U( x, y, z)    .<_ ( x, y, z)

Proof of Theorem lubval
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubval.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 lubval.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 lubval.u . . . 4  |-  U  =  ( lub `  K
)
41, 2, 3lubfval 14390 . . 3  |-  ( K  e.  A  ->  U  =  ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) )
54fveq1d 5689 . 2  |-  ( K  e.  A  ->  ( U `  S )  =  ( ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) ) `  S ) )
6 fvex 5701 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  e.  _V
71, 6eqeltri 2474 . . . 4  |-  B  e. 
_V
87elpw2 4324 . . 3  |-  ( S  e.  ~P B  <->  S  C_  B
)
9 raleq 2864 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
y  .<_  x  <->  A. y  e.  S  y  .<_  x ) )
10 raleq 2864 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ( A. y  e.  s 
y  .<_  z  <->  A. y  e.  S  y  .<_  z ) )
1110imbi1d 309 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
1211ralbidv 2686 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z )  <->  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )
139, 12anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) )  <->  ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
1413riotabidv 6510 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) )  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
15 eqid 2404 . . . 4  |-  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )  =  ( s  e.  ~P B  |->  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x 
.<_  z ) ) ) )
16 riotaex 6512 . . . 4  |-  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) )  e. 
_V
1714, 15, 16fvmpt 5765 . . 3  |-  ( S  e.  ~P B  -> 
( ( s  e. 
~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) `
 S )  =  ( iota_ x  e.  B
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
188, 17sylbir 205 . 2  |-  ( S 
C_  B  ->  (
( s  e.  ~P B  |->  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  s  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  s  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) ) `  S )  =  (
iota_ x  e.  B
( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
195, 18sylan9eq 2456 1  |-  ( ( K  e.  A  /\  S  C_  B )  -> 
( U `  S
)  =  ( iota_ x  e.  B ( A. y  e.  S  y  .<_  x  /\  A. z  e.  B  ( A. y  e.  S  y  .<_  z  ->  x  .<_  z ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   ` cfv 5413   iota_crio 6501   Basecbs 13424   lecple 13491   lubclub 14354
This theorem is referenced by:  lubprop  14392  lubid  14394  joinval2  14401  lubun  14505  poslubd  14529  toslub  24144  lubunNEW  29456  lub0N  29672  glbconN  29859
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6508  df-lub 14386
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