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Theorem luk-2 1411
Description: 2 of 3 axioms for propositional calculus due to Lukasiewicz, derived from Meredith's sole axiom. (Contributed by NM, 14-Dec-2002.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
luk-2  |-  ( ( -.  ph  ->  ph )  ->  ph )

Proof of Theorem luk-2
StepHypRef Expression
1 merlem5 1401 . . . . 5  |-  ( (
ph  ->  -.  ( -.  ph 
->  ph ) )  -> 
( -.  -.  ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) ) )
2 merlem4 1400 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph )
)  ->  ( -.  -.  ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) ) )  ->  ( (
( ( ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) )  ->  ( -.  -.  ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) ) )  ->  -.  ph )  ->  ( ( ( (
ph  ->  -.  ( -.  ph 
->  ph ) )  -> 
( -.  -.  ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) ) )  ->  -.  ph )  ->  -.  ph ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . 4  |-  ( ( ( ( ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) )  ->  ( -.  -.  ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) ) )  ->  -.  ph )  ->  ( ( ( (
ph  ->  -.  ( -.  ph 
->  ph ) )  -> 
( -.  -.  ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) ) )  ->  -.  ph )  ->  -.  ph ) )
4 merlem11 1407 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) )  -> 
( -.  -.  ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) ) )  ->  -.  ph )  -> 
( ( ( (
ph  ->  -.  ( -.  ph 
->  ph ) )  -> 
( -.  -.  ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) ) )  ->  -.  ph )  ->  -.  ph ) )  -> 
( ( ( (
ph  ->  -.  ( -.  ph 
->  ph ) )  -> 
( -.  -.  ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) ) )  ->  -.  ph )  ->  -.  ph ) )
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( ( ( ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) )  ->  ( -.  -.  ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) ) )  ->  -.  ph )  ->  -.  ph )
6 ax-meredith 1396 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) )  -> 
( -.  -.  ph  ->  -.  ( -.  ph  ->  ph ) ) )  ->  -.  ph )  ->  -.  ph )  ->  (
( -.  ph  ->  ph )  ->  ( ( -.  ph  ->  ph )  ->  ph ) ) )
75, 6ax-mp 8 . 2  |-  ( ( -.  ph  ->  ph )  ->  ( ( -.  ph  ->  ph )  ->  ph )
)
8 merlem11 1407 . 2  |-  ( ( ( -.  ph  ->  ph )  ->  ( ( -.  ph  ->  ph )  ->  ph ) )  ->  (
( -.  ph  ->  ph )  ->  ph ) )
97, 8ax-mp 8 1  |-  ( ( -.  ph  ->  ph )  ->  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4
This theorem is referenced by:  luklem4  1416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 8  ax-meredith 1396
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