MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecdim Structured version   Unicode version

Theorem lvecdim 16219
Description: The dimension theorem for vector spaces: any two bases of the same vector space are equinumerous. Proven by using lssacsex 16206 and lbsacsbs 16218 to show that being a basis for a vector space is equivalent to being a basis for the associated algebraic closure system, and then using acsexdimd 14599. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
lvecdim.1  |-  J  =  (LBasis `  W )
Assertion
Ref Expression
lvecdim  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  S  ~~  T )

Proof of Theorem lvecdim
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
2 eqid 2435 . . . . 5  |-  (mrCls `  ( LSubSp `  W )
)  =  (mrCls `  ( LSubSp `  W )
)
3 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
41, 2, 3lssacsex 16206 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( (
LSubSp `  W )  e.  (ACS `  ( Base `  W ) )  /\  A. x  e.  ~P  ( Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. z  e.  ( ( (mrCls `  ( LSubSp `  W )
) `  ( x  u.  { y } ) )  \  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W )
) `  x )
) y  e.  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W ) ) `  ( x  u.  { z } ) ) ) )
543ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  (
( LSubSp `  W )  e.  (ACS `  ( Base `  W ) )  /\  A. x  e.  ~P  ( Base `  W ) A. y  e.  ( Base `  W ) A. z  e.  ( ( (mrCls `  ( LSubSp `  W )
) `  ( x  u.  { y } ) )  \  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W )
) `  x )
) y  e.  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W ) ) `  ( x  u.  { z } ) ) ) )
65simpld 446 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  ( LSubSp `
 W )  e.  (ACS `  ( Base `  W ) ) )
7 eqid 2435 . 2  |-  (mrInd `  ( LSubSp `  W )
)  =  (mrInd `  ( LSubSp `  W )
)
85simprd 450 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  A. x  e.  ~P  ( Base `  W
) A. y  e.  ( Base `  W
) A. z  e.  ( ( (mrCls `  ( LSubSp `  W )
) `  ( x  u.  { y } ) )  \  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W )
) `  x )
) y  e.  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W ) ) `  ( x  u.  { z } ) ) )
9 simp2 958 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  S  e.  J )
10 lvecdim.1 . . . . . 6  |-  J  =  (LBasis `  W )
111, 2, 3, 7, 10lbsacsbs 16218 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( S  e.  J  <->  ( S  e.  (mrInd `  ( LSubSp `  W ) )  /\  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W ) ) `  S )  =  (
Base `  W )
) ) )
12113ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  ( S  e.  J  <->  ( S  e.  (mrInd `  ( LSubSp `  W ) )  /\  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W ) ) `  S )  =  (
Base `  W )
) ) )
139, 12mpbid 202 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  ( S  e.  (mrInd `  ( LSubSp `
 W ) )  /\  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W )
) `  S )  =  ( Base `  W
) ) )
1413simpld 446 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  S  e.  (mrInd `  ( LSubSp `  W ) ) )
15 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  T  e.  J )
161, 2, 3, 7, 10lbsacsbs 16218 . . . . 5  |-  ( W  e.  LVec  ->  ( T  e.  J  <->  ( T  e.  (mrInd `  ( LSubSp `  W ) )  /\  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W ) ) `  T )  =  (
Base `  W )
) ) )
17163ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  ( T  e.  J  <->  ( T  e.  (mrInd `  ( LSubSp `  W ) )  /\  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W ) ) `  T )  =  (
Base `  W )
) ) )
1815, 17mpbid 202 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  ( T  e.  (mrInd `  ( LSubSp `
 W ) )  /\  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W )
) `  T )  =  ( Base `  W
) ) )
1918simpld 446 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  T  e.  (mrInd `  ( LSubSp `  W ) ) )
2013simprd 450 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  (
(mrCls `  ( LSubSp `  W ) ) `  S )  =  (
Base `  W )
)
2118simprd 450 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  (
(mrCls `  ( LSubSp `  W ) ) `  T )  =  (
Base `  W )
)
2220, 21eqtr4d 2470 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  (
(mrCls `  ( LSubSp `  W ) ) `  S )  =  ( (mrCls `  ( LSubSp `  W ) ) `  T ) )
236, 2, 7, 8, 14, 19, 22acsexdimd 14599 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  S  e.  J  /\  T  e.  J )  ->  S  ~~  T )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    \ cdif 3309    u. cun 3310   ~Pcpw 3791   {csn 3806   class class class wbr 4204   ` cfv 5446    ~~ cen 7098   Basecbs 13459  mrClscmrc 13798  mrIndcmri 13799  ACScacs 13800   LSubSpclss 15998  LBasisclbs 16136   LVecclvec 16164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7550  ax-inf2 7586  ax-ac2 8333  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7469  df-r1 7680  df-rank 7681  df-card 7816  df-acn 7819  df-ac 7987  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ocomp 13540  df-0g 13717  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-mri 13803  df-acs 13804  df-preset 14375  df-drs 14376  df-poset 14393  df-ipo 14568  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-subg 14931  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-invr 15767  df-drng 15827  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-lsp 16038  df-lbs 16137  df-lvec 16165
  Copyright terms: Public domain W3C validator