Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecdim Structured version   Unicode version

Theorem lvecdim 16219
 Description: The dimension theorem for vector spaces: any two bases of the same vector space are equinumerous. Proven by using lssacsex 16206 and lbsacsbs 16218 to show that being a basis for a vector space is equivalent to being a basis for the associated algebraic closure system, and then using acsexdimd 14599. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
lvecdim.1 LBasis
Assertion
Ref Expression
lvecdim

Proof of Theorem lvecdim
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2435 . . . . 5
2 eqid 2435 . . . . 5 mrCls mrCls
3 eqid 2435 . . . . 5
41, 2, 3lssacsex 16206 . . . 4 ACS mrCls mrCls mrCls
543ad2ant1 978 . . 3 ACS mrCls mrCls mrCls
65simpld 446 . 2 ACS
7 eqid 2435 . 2 mrInd mrInd
85simprd 450 . 2 mrCls mrCls mrCls
9 simp2 958 . . . 4
10 lvecdim.1 . . . . . 6 LBasis
111, 2, 3, 7, 10lbsacsbs 16218 . . . . 5 mrInd mrCls
12113ad2ant1 978 . . . 4 mrInd mrCls
139, 12mpbid 202 . . 3 mrInd mrCls
1413simpld 446 . 2 mrInd
15 simp3 959 . . . 4
161, 2, 3, 7, 10lbsacsbs 16218 . . . . 5 mrInd mrCls
17163ad2ant1 978 . . . 4 mrInd mrCls
1815, 17mpbid 202 . . 3 mrInd mrCls
1918simpld 446 . 2 mrInd
2013simprd 450 . . 3 mrCls
2118simprd 450 . . 3 mrCls
2220, 21eqtr4d 2470 . 2 mrCls mrCls
236, 2, 7, 8, 14, 19, 22acsexdimd 14599 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697   cdif 3309   cun 3310  cpw 3791  csn 3806   class class class wbr 4204  cfv 5446   cen 7098  cbs 13459  mrClscmrc 13798  mrIndcmri 13799  ACScacs 13800  clss 15998  LBasisclbs 16136  clvec 16164 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-reg 7550  ax-inf2 7586  ax-ac2 8333  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7469  df-r1 7680  df-rank 7681  df-card 7816  df-acn 7819  df-ac 7987  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-4 10050  df-5 10051  df-6 10052  df-7 10053  df-8 10054  df-9 10055  df-10 10056  df-n0 10212  df-z 10273  df-dec 10373  df-uz 10479  df-fz 11034  df-struct 13461  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-mulr 13533  df-tset 13538  df-ple 13539  df-ocomp 13540  df-0g 13717  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-mri 13803  df-acs 13804  df-preset 14375  df-drs 14376  df-poset 14393  df-ipo 14568  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-subg 14931  df-cmn 15404  df-abl 15405  df-mgp 15639  df-rng 15653  df-ur 15655  df-oppr 15718  df-dvdsr 15736  df-unit 15737  df-invr 15767  df-drng 15827  df-lmod 15942  df-lss 15999  df-lsp 16038  df-lbs 16137  df-lvec 16165
 Copyright terms: Public domain W3C validator