MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecdrng Structured version   Unicode version

Theorem lvecdrng 16169
Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
islvec.1  |-  F  =  (Scalar `  W )
Assertion
Ref Expression
lvecdrng  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )

Proof of Theorem lvecdrng
StepHypRef Expression
1 islvec.1 . . 3  |-  F  =  (Scalar `  W )
21islvec 16168 . 2  |-  ( W  e.  LVec  <->  ( W  e. 
LMod  /\  F  e.  DivRing ) )
32simprbi 451 1  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5446  Scalarcsca 13524   DivRingcdr 15827   LModclmod 15942   LVecclvec 16166
This theorem is referenced by:  lsslvec  16171  lvecvs0or  16172  lssvs0or  16174  lvecinv  16177  lspsnvs  16178  lspsneq  16186  lspfixed  16192  lspexch  16193  lspsolv  16207  islbs2  16218  islbs3  16219  obsne0  16944  nvctvc  18727  lssnvc  18729  cphsubrg  19135  cphreccl  19136  cphqss  19143  tchclm  19181  ipcau2  19183  tchcph  19186  hlprlem  19313  ishl2  19316  sitgclbn  24649  islinds4  27263  lfl1  29795  lkrsc  29822  eqlkr3  29826  lkrlsp  29827  lkrshp  29830  lduallvec  29879  dochkr1  32203  dochkr1OLDN  32204  lcfl7lem  32224  lclkrlem2m  32244  lclkrlem2o  32246  lclkrlem2p  32247  lcfrlem1  32267  lcfrlem2  32268  lcfrlem3  32269  lcfrlem29  32296  lcfrlem31  32298  lcfrlem33  32300  mapdpglem17N  32413  mapdpglem18  32414  mapdpglem19  32415  mapdpglem21  32417  mapdpglem22  32418  hdmapip1  32644  hgmapvvlem1  32651  hgmapvvlem2  32652  hgmapvvlem3  32653
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-iota 5410  df-fv 5454  df-lvec 16167
  Copyright terms: Public domain W3C validator