MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp Structured version   Unicode version

Theorem lvecindp 16212
Description: Compute the  X coefficient in a sum with an independent vector  X (first conjunct), which can then be removed to continue with the remaining vectors summed in expressions  Y and 
Z (second conjunct). Typically,  U is the span of the remaining vectors. (Contributed by NM, 5-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecindp.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lvecindp.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecindp.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecindp.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecindp.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lvecindp.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecindp.u  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
lvecindp.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lvecindp.n  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
lvecindp.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
lvecindp.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
lvecindp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecindp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lvecindp.e  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  Y
)  =  ( ( B  .x.  X ) 
.+  Z ) )
Assertion
Ref Expression
lvecindp  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  Y  =  Z ) )

Proof of Theorem lvecindp
StepHypRef Expression
1 lvecindp.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
2 eqid 2438 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
3 eqid 2438 . . . 4  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
4 lvecindp.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
5 lveclmod 16180 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
7 lvecindp.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
8 lvecindp.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
9 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
108, 9lspsnsubg 16058 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( LSpan `  W ) `  { X } )  e.  (SubGrp `  W
) )
116, 7, 10syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  W
) `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
12 lvecindp.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
1312lsssssubg 16036 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  S  C_  (SubGrp `  W ) )
146, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  C_  (SubGrp `  W
) )
15 lvecindp.u . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  e.  S )
1614, 15sseldd 3351 . . . 4  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  W ) )
17 lvecindp.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  X  e.  U
)
188, 2, 9, 12, 4, 15, 7, 17lspdisj 16199 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( LSpan `  W ) `  { X } )  i^i  U
)  =  { ( 0g `  W ) } )
19 lmodabl 15993 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
206, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
213, 20, 11, 16ablcntzd 15474 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( LSpan `  W
) `  { X } )  C_  (
(Cntz `  W ) `  U ) )
22 lvecindp.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
23 lvecindp.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
24 lvecindp.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
25 lvecindp.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
268, 22, 23, 24, 9, 6, 25, 7lspsneli 16079 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  { X } ) )
27 lvecindp.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
288, 22, 23, 24, 9, 6, 27, 7lspsneli 16079 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  ( (
LSpan `  W ) `  { X } ) )
29 lvecindp.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  U )
30 lvecindp.z . . . 4  |-  ( ph  ->  Z  e.  U )
31 lvecindp.e . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  Y
)  =  ( ( B  .x.  X ) 
.+  Z ) )
321, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj1 15325 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  =  ( B 
.x.  X ) )
338, 2, 12, 6, 15, 7, 17lssneln0 16030 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  { ( 0g
`  W ) } ) )
34 eldifsni 3930 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  { ( 0g `  W ) } )  ->  X  =/=  ( 0g `  W ) )
3533, 34syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  ( 0g
`  W ) )
368, 22, 23, 24, 2, 4, 25, 27, 7, 35lvecvscan2 16186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X )  <-> 
A  =  B ) )
3732, 36mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  A  =  B )
381, 2, 3, 11, 16, 18, 21, 26, 28, 29, 30, 31subgdisj2 15326 . 2  |-  ( ph  ->  Y  =  Z )
3937, 38jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  /\  Y  =  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    \ cdif 3319    C_ wss 3322   {csn 3816   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   +g cplusg 13531  Scalarcsca 13534   .scvsca 13535   0gc0g 13725  SubGrpcsubg 14940  Cntzccntz 15116   Abelcabel 15415   LModclmod 15952   LSubSpclss 16010   LSpanclspn 16049   LVecclvec 16176
This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  32507  baerlem5alem1  32508  baerlem5blem1  32509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-tpos 6481  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-subg 14943  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-oppr 15730  df-dvdsr 15748  df-unit 15749  df-invr 15779  df-drng 15839  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-lsp 16050  df-lvec 16177
  Copyright terms: Public domain W3C validator