MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp2 Unicode version

Theorem lvecindp2 15908
Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecindp2.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lvecindp2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecindp2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecindp2.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecindp2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lvecindp2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lvecindp2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecindp2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lvecindp2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lvecindp2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecindp2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lvecindp2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
lvecindp2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  K )
lvecindp2.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lvecindp2.e  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C 
.x.  X )  .+  ( D  .x.  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
lvecindp2  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )

Proof of Theorem lvecindp2
StepHypRef Expression
1 lvecindp2.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C 
.x.  X )  .+  ( D  .x.  Y ) ) )
2 lvecindp2.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lvecindp2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 eqid 2296 . . . 4  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
5 lvecindp2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lveclmod 15875 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
75, 6syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 lvecindp2.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
9 eldifi 3311 . . . . . 6  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  e.  V )
108, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
11 lvecindp2.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
12 lvecindp2.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1311, 12lspsnsubg 15753 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
147, 10, 13syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
15 lvecindp2.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
16 eldifi 3311 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  e.  V )
1715, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1811, 12lspsnsubg 15753 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
197, 17, 18syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
20 lvecindp2.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
2111, 3, 12, 5, 10, 17, 20lspdisj2 15896 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  i^i  ( N `  { Y } ) )  =  {  .0.  } )
22 lmodabl 15688 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
237, 22syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
244, 23, 14, 19ablcntzd 15165 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  (
(Cntz `  W ) `  ( N `  { Y } ) ) )
25 lvecindp2.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
26 lvecindp2.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
27 lvecindp2.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
28 lvecindp2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
2911, 25, 26, 27, 12, 7, 28, 10lspsneli 15774 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
30 lvecindp2.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
3111, 25, 26, 27, 12, 7, 30, 10lspsneli 15774 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
32 lvecindp2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
3311, 25, 26, 27, 12, 7, 32, 17lspsneli 15774 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
34 lvecindp2.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  K )
3511, 25, 26, 27, 12, 7, 34, 17lspsneli 15774 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
362, 3, 4, 14, 19, 21, 24, 29, 31, 33, 35subgdisjb 15018 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C  .x.  X ) 
.+  ( D  .x.  Y ) )  <->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X
)  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) ) ) )
371, 36mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X )  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) ) )
38 eldifsni 3763 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
398, 38syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
4011, 25, 26, 27, 3, 5, 28, 30, 10, 39lvecvscan2 15881 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X )  <-> 
A  =  C ) )
41 eldifsni 3763 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  =/=  .0.  )
4215, 41syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
4311, 25, 26, 27, 3, 5, 32, 34, 17, 42lvecvscan2 15881 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y )  <-> 
B  =  D ) )
4440, 43anbi12d 691 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  =  ( C  .x.  X
)  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) )  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )
4537, 44mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    \ cdif 3162   {csn 3653   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416  SubGrpcsubg 14631  Cntzccntz 14807   Abelcabel 15106   LModclmod 15643   LSpanclspn 15744   LVecclvec 15871
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  32514  baerlem3lem1  32519  baerlem5alem1  32520  hdmap14lem9  32691
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-subg 14634  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-lvec 15872
  Copyright terms: Public domain W3C validator