MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecindp2 Structured version   Unicode version

Theorem lvecindp2 16212
Description: Sums of independent vectors must have equal coefficients. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecindp2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecindp2.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lvecindp2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecindp2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecindp2.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecindp2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lvecindp2.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
lvecindp2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecindp2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lvecindp2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
lvecindp2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecindp2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lvecindp2.c  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
lvecindp2.d  |-  ( ph  ->  D  e.  K )
lvecindp2.q  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
lvecindp2.e  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C 
.x.  X )  .+  ( D  .x.  Y ) ) )
Assertion
Ref Expression
lvecindp2  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )

Proof of Theorem lvecindp2
StepHypRef Expression
1 lvecindp2.e . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C 
.x.  X )  .+  ( D  .x.  Y ) ) )
2 lvecindp2.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
3 lvecindp2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
4 eqid 2437 . . . 4  |-  (Cntz `  W )  =  (Cntz `  W )
5 lvecindp2.w . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
6 lveclmod 16179 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
75, 6syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
8 lvecindp2.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
98eldifad 3333 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 lvecindp2.v . . . . . 6  |-  V  =  ( Base `  W
)
11 lvecindp2.n . . . . . 6  |-  N  =  ( LSpan `  W )
1210, 11lspsnsubg 16057 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
137, 9, 12syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  e.  (SubGrp `  W ) )
14 lvecindp2.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( V 
\  {  .0.  }
) )
1514eldifad 3333 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
1610, 11lspsnsubg 16057 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
177, 15, 16syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { Y } )  e.  (SubGrp `  W ) )
18 lvecindp2.q . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  =/=  ( N `  { Y } ) )
1910, 3, 11, 5, 9, 15, 18lspdisj2 16200 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( N `  { X } )  i^i  ( N `  { Y } ) )  =  {  .0.  } )
20 lmodabl 15992 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
217, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  W  e.  Abel )
224, 21, 13, 17ablcntzd 15473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( N `  { X } )  C_  (
(Cntz `  W ) `  ( N `  { Y } ) ) )
23 lvecindp2.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
24 lvecindp2.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
25 lvecindp2.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
26 lvecindp2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
2710, 23, 24, 25, 11, 7, 26, 9lspsneli 16078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
28 lvecindp2.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  K )
2910, 23, 24, 25, 11, 7, 28, 9lspsneli 16078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  .x.  X
)  e.  ( N `
 { X }
) )
30 lvecindp2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
3110, 23, 24, 25, 11, 7, 30, 15lspsneli 16078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
32 lvecindp2.d . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  K )
3310, 23, 24, 25, 11, 7, 32, 15lspsneli 16078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( D  .x.  Y
)  e.  ( N `
 { Y }
) )
342, 3, 4, 13, 17, 19, 22, 27, 29, 31, 33subgdisjb 15326 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  .+  ( B  .x.  Y ) )  =  ( ( C  .x.  X ) 
.+  ( D  .x.  Y ) )  <->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X
)  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) ) ) )
351, 34mpbid 203 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X )  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) ) )
36 eldifsni 3929 . . . . 5  |-  ( X  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  X  =/=  .0.  )
378, 36syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
3810, 23, 24, 25, 3, 5, 26, 28, 9, 37lvecvscan2 16185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( C  .x.  X )  <-> 
A  =  C ) )
39 eldifsni 3929 . . . . 5  |-  ( Y  e.  ( V  \  {  .0.  } )  ->  Y  =/=  .0.  )
4014, 39syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  =/=  .0.  )
4110, 23, 24, 25, 3, 5, 30, 32, 15, 40lvecvscan2 16185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y )  <-> 
B  =  D ) )
4238, 41anbi12d 693 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X )  =  ( C  .x.  X
)  /\  ( B  .x.  Y )  =  ( D  .x.  Y ) )  <->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) ) )
4335, 42mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  C  /\  B  =  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600    \ cdif 3318   {csn 3815   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   Basecbs 13470   +g cplusg 13530  Scalarcsca 13533   .scvsca 13534   0gc0g 13724  SubGrpcsubg 14939  Cntzccntz 15115   Abelcabel 15414   LModclmod 15951   LSpanclspn 16048   LVecclvec 16175
This theorem is referenced by:  mapdpglem30  32501  baerlem3lem1  32506  baerlem5alem1  32507  hdmap14lem9  32678
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-subg 14942  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-drng 15838  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-lvec 16176
  Copyright terms: Public domain W3C validator