MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecinv Unicode version

Theorem lvecinv 15866
Description: Invert coefficient of scalar product. (Contributed by NM, 11-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecinv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecinv.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecinv.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecinv.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecinv.o  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
lvecinv.i  |-  I  =  ( invr `  F
)
lvecinv.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecinv.a  |-  ( ph  ->  A  e.  ( K 
\  {  .0.  }
) )
lvecinv.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lvecinv.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lvecinv  |-  ( ph  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  <-> 
Y  =  ( ( I `  A ) 
.x.  X ) ) )

Proof of Theorem lvecinv
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( X  =  ( A  .x.  Y )  ->  (
( I `  A
)  .x.  X )  =  ( ( I `
 A )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) )
2 lvecinv.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
3 lvecinv.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  (Scalar `  W )
43lvecdrng 15858 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LVec  ->  F  e.  DivRing )
52, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  DivRing )
6 lvecinv.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ( K 
\  {  .0.  }
) )
7 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( K  \  {  .0.  } )  ->  A  e.  K )
86, 7syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
9 eldifsni 3750 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( K  \  {  .0.  } )  ->  A  =/=  .0.  )
106, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  =/=  .0.  )
11 lvecinv.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
12 lvecinv.o . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
13 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
14 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
15 lvecinv.i . . . . . . . 8  |-  I  =  ( invr `  F
)
1611, 12, 13, 14, 15drnginvrl 15531 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  DivRing  /\  A  e.  K  /\  A  =/= 
.0.  )  ->  (
( I `  A
) ( .r `  F ) A )  =  ( 1r `  F ) )
175, 8, 10, 16syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( I `  A ) ( .r
`  F ) A )  =  ( 1r
`  F ) )
1817oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 A ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( 1r `  F ) 
.x.  Y ) )
19 lveclmod 15859 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
202, 19syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2111, 12, 15drnginvrcl 15529 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  DivRing  /\  A  e.  K  /\  A  =/= 
.0.  )  ->  (
I `  A )  e.  K )
225, 8, 10, 21syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I `  A
)  e.  K )
23 lvecinv.y . . . . . 6  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
24 lvecinv.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( Base `  W
)
25 lvecinv.t . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  W )
2624, 3, 25, 11, 13lmodvsass 15654 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( I `  A
)  e.  K  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( I `  A
) ( .r `  F ) A ) 
.x.  Y )  =  ( ( I `  A )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) )
2720, 22, 8, 23, 26syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( I `
 A ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( I `  A ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
2824, 3, 25, 14lmodvs1 15658 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  F
)  .x.  Y )  =  Y )
2920, 23, 28syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  F )  .x.  Y
)  =  Y )
3018, 27, 293eqtr3d 2323 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( I `  A )  .x.  ( A  .x.  Y ) )  =  Y )
311, 30sylan9eqr 2337 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  =  ( A  .x.  Y ) )  ->  ( (
I `  A )  .x.  X )  =  Y )
3211, 12, 13, 14, 15drnginvrr 15532 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  DivRing  /\  A  e.  K  /\  A  =/= 
.0.  )  ->  ( A ( .r `  F ) ( I `
 A ) )  =  ( 1r `  F ) )
335, 8, 10, 32syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ( .r
`  F ) ( I `  A ) )  =  ( 1r
`  F ) )
3433oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ( .r `  F ) ( I `  A
) )  .x.  X
)  =  ( ( 1r `  F ) 
.x.  X ) )
35 lvecinv.x . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3624, 3, 25, 11, 13lmodvsass 15654 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  ( I `  A
)  e.  K  /\  X  e.  V )
)  ->  ( ( A ( .r `  F ) ( I `
 A ) ) 
.x.  X )  =  ( A  .x.  (
( I `  A
)  .x.  X )
) )
3720, 8, 22, 35, 36syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ( .r `  F ) ( I `  A
) )  .x.  X
)  =  ( A 
.x.  ( ( I `
 A )  .x.  X ) ) )
3824, 3, 25, 14lmodvs1 15658 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  (
( 1r `  F
)  .x.  X )  =  X )
3920, 35, 38syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1r `  F )  .x.  X
)  =  X )
4034, 37, 393eqtr3rd 2324 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =  ( A 
.x.  ( ( I `
 A )  .x.  X ) ) )
41 oveq2 5866 . . . 4  |-  ( ( ( I `  A
)  .x.  X )  =  Y  ->  ( A 
.x.  ( ( I `
 A )  .x.  X ) )  =  ( A  .x.  Y
) )
4240, 41sylan9eq 2335 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( (
I `  A )  .x.  X )  =  Y )  ->  X  =  ( A  .x.  Y ) )
4331, 42impbida 805 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  <-> 
( ( I `  A )  .x.  X
)  =  Y ) )
44 eqcom 2285 . 2  |-  ( ( ( I `  A
)  .x.  X )  =  Y  <->  Y  =  (
( I `  A
)  .x.  X )
)
4543, 44syl6bb 252 1  |-  ( ph  ->  ( X  =  ( A  .x.  Y )  <-> 
Y  =  ( ( I `  A ) 
.x.  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    \ cdif 3149   {csn 3640   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   1rcur 15339   invrcinvr 15453   DivRingcdr 15512   LModclmod 15627   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  lspexch  15882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lvec 15856
  Copyright terms: Public domain W3C validator