MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecprop2d Structured version   Unicode version

Theorem lvecprop2d 16238
Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. This version of lvecpropd 16239 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecprop2d.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
lvecprop2d.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
lvecprop2d.f  |-  F  =  (Scalar `  K )
lvecprop2d.g  |-  G  =  (Scalar `  L )
lvecprop2d.p1  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
lvecprop2d.p2  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
lvecprop2d.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
lvecprop2d.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
lvecprop2d.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  =  ( x ( .r `  G
) y ) )
lvecprop2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
lvecprop2d  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LVec  <->  L  e.  LVec ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, G, y    x, K, y    ph, x, y    x, L, y    x, P, y

Proof of Theorem lvecprop2d
StepHypRef Expression
1 lvecprop2d.b1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 lvecprop2d.b2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 lvecprop2d.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  K )
4 lvecprop2d.g . . . 4  |-  G  =  (Scalar `  L )
5 lvecprop2d.p1 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
6 lvecprop2d.p2 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
7 lvecprop2d.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
8 lvecprop2d.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
9 lvecprop2d.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  =  ( x ( .r `  G
) y ) )
10 lvecprop2d.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodprop2d 16006 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
125, 6, 8, 9drngpropd 15862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  DivRing  <->  G  e.  DivRing ) )
1311, 12anbi12d 692 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LMod  /\  F  e.  DivRing )  <-> 
( L  e.  LMod  /\  G  e.  DivRing ) ) )
143islvec 16176 . 2  |-  ( K  e.  LVec  <->  ( K  e. 
LMod  /\  F  e.  DivRing ) )
154islvec 16176 . 2  |-  ( L  e.  LVec  <->  ( L  e. 
LMod  /\  G  e.  DivRing ) )
1613, 14, 153bitr4g 280 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LVec  <->  L  e.  LVec ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Basecbs 13469   +g cplusg 13529   .rcmulr 13530  Scalarcsca 13532   .scvsca 13533   DivRingcdr 15835   LModclmod 15950   LVecclvec 16174
This theorem is referenced by:  hlhillvec  32752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-0g 13727  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-oppr 15728  df-dvdsr 15746  df-unit 15747  df-drng 15837  df-lmod 15952  df-lvec 16175
  Copyright terms: Public domain W3C validator