MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecprop2d Unicode version

Theorem lvecprop2d 15919
Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. This version of lvecpropd 15920 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecprop2d.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
lvecprop2d.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
lvecprop2d.f  |-  F  =  (Scalar `  K )
lvecprop2d.g  |-  G  =  (Scalar `  L )
lvecprop2d.p1  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
lvecprop2d.p2  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
lvecprop2d.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
lvecprop2d.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
lvecprop2d.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  =  ( x ( .r `  G
) y ) )
lvecprop2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
lvecprop2d  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LVec  <->  L  e.  LVec ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, G, y    x, K, y    ph, x, y    x, L, y    x, P, y

Proof of Theorem lvecprop2d
StepHypRef Expression
1 lvecprop2d.b1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 lvecprop2d.b2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 lvecprop2d.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  K )
4 lvecprop2d.g . . . 4  |-  G  =  (Scalar `  L )
5 lvecprop2d.p1 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
6 lvecprop2d.p2 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
7 lvecprop2d.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
8 lvecprop2d.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
9 lvecprop2d.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  =  ( x ( .r `  G
) y ) )
10 lvecprop2d.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodprop2d 15687 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
125, 6, 8, 9drngpropd 15539 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  DivRing  <->  G  e.  DivRing ) )
1311, 12anbi12d 691 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LMod  /\  F  e.  DivRing )  <-> 
( L  e.  LMod  /\  G  e.  DivRing ) ) )
143islvec 15857 . 2  |-  ( K  e.  LVec  <->  ( K  e. 
LMod  /\  F  e.  DivRing ) )
154islvec 15857 . 2  |-  ( L  e.  LVec  <->  ( L  e. 
LMod  /\  G  e.  DivRing ) )
1613, 14, 153bitr4g 279 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LVec  <->  L  e.  LVec ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   DivRingcdr 15512   LModclmod 15627   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  hlhillvec  32144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lvec 15856
  Copyright terms: Public domain W3C validator