MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecprop2d Unicode version

Theorem lvecprop2d 15935
Description: If two structures have the same components (properties), one is a left vector space iff the other one is. This version of lvecpropd 15936 also breaks up the components of the scalar ring. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecprop2d.b1  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
lvecprop2d.b2  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
lvecprop2d.f  |-  F  =  (Scalar `  K )
lvecprop2d.g  |-  G  =  (Scalar `  L )
lvecprop2d.p1  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
lvecprop2d.p2  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
lvecprop2d.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
lvecprop2d.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
lvecprop2d.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  =  ( x ( .r `  G
) y ) )
lvecprop2d.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
Assertion
Ref Expression
lvecprop2d  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LVec  <->  L  e.  LVec ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, F, y    x, G, y    x, K, y    ph, x, y    x, L, y    x, P, y

Proof of Theorem lvecprop2d
StepHypRef Expression
1 lvecprop2d.b1 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  K ) )
2 lvecprop2d.b2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  L ) )
3 lvecprop2d.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  K )
4 lvecprop2d.g . . . 4  |-  G  =  (Scalar `  L )
5 lvecprop2d.p1 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  F ) )
6 lvecprop2d.p2 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  =  ( Base `  G ) )
7 lvecprop2d.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( +g  `  K ) y )  =  ( x ( +g  `  L ) y ) )
8 lvecprop2d.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( +g  `  F ) y )  =  ( x ( +g  `  G ) y ) )
9 lvecprop2d.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  P ) )  -> 
( x ( .r
`  F ) y )  =  ( x ( .r `  G
) y ) )
10 lvecprop2d.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  P  /\  y  e.  B ) )  -> 
( x ( .s
`  K ) y )  =  ( x ( .s `  L
) y ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodprop2d 15703 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LMod  <->  L  e.  LMod ) )
125, 6, 8, 9drngpropd 15555 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  e.  DivRing  <->  G  e.  DivRing ) )
1311, 12anbi12d 691 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( K  e. 
LMod  /\  F  e.  DivRing )  <-> 
( L  e.  LMod  /\  G  e.  DivRing ) ) )
143islvec 15873 . 2  |-  ( K  e.  LVec  <->  ( K  e. 
LMod  /\  F  e.  DivRing ) )
154islvec 15873 . 2  |-  ( L  e.  LVec  <->  ( L  e. 
LMod  /\  G  e.  DivRing ) )
1613, 14, 153bitr4g 279 1  |-  ( ph  ->  ( K  e.  LVec  <->  L  e.  LVec ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   DivRingcdr 15528   LModclmod 15643   LVecclvec 15871
This theorem is referenced by:  hlhillvec  32766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lvec 15872
  Copyright terms: Public domain W3C validator