MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan Unicode version

Theorem lvecvscan 15880
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan 21667 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecmulcan.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecmulcan.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecmulcan.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecmulcan.o  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
lvecmulcan.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecmulcan.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecmulcan.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lvecmulcan.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
lvecmulcan.n  |-  ( ph  ->  A  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( A  .x.  Y )  <-> 
X  =  Y ) )

Proof of Theorem lvecvscan
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan.n . . 3  |-  ( ph  ->  A  =/=  .0.  )
2 df-ne 2461 . . . 4  |-  ( A  =/=  .0.  <->  -.  A  =  .0.  )
3 biorf 394 . . . 4  |-  ( -.  A  =  .0.  ->  ( ( X ( -g `  W ) Y )  =  ( 0g `  W )  <->  ( A  =  .0.  \/  ( X ( -g `  W
) Y )  =  ( 0g `  W
) ) ) )
42, 3sylbi 187 . . 3  |-  ( A  =/=  .0.  ->  (
( X ( -g `  W ) Y )  =  ( 0g `  W )  <->  ( A  =  .0.  \/  ( X ( -g `  W
) Y )  =  ( 0g `  W
) ) ) )
51, 4syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  W ) Y )  =  ( 0g `  W )  <-> 
( A  =  .0. 
\/  ( X (
-g `  W ) Y )  =  ( 0g `  W ) ) ) )
6 lvecmulcan.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
7 lveclmod 15875 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
86, 7syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
9 lvecmulcan.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
10 lvecmulcan.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
11 lvecmulcan.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
12 eqid 2296 . . . 4  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
13 eqid 2296 . . . 4  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
1411, 12, 13lmodsubeq0 15700 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( X ( -g `  W ) Y )  =  ( 0g `  W )  <->  X  =  Y ) )
158, 9, 10, 14syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X (
-g `  W ) Y )  =  ( 0g `  W )  <-> 
X  =  Y ) )
16 lvecmulcan.s . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
17 lvecmulcan.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
18 lvecmulcan.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
19 lvecmulcan.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
2011, 16, 17, 18, 13, 8, 19, 9, 10lmodsubdi 15698 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X ( -g `  W
) Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) (
-g `  W )
( A  .x.  Y
) ) )
2120eqeq1d 2304 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  ( X ( -g `  W
) Y ) )  =  ( 0g `  W )  <->  ( ( A  .x.  X ) (
-g `  W )
( A  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  W ) ) )
22 lvecmulcan.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  F )
2311, 13lmodvsubcl 15686 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X ( -g `  W
) Y )  e.  V )
248, 9, 10, 23syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X ( -g `  W ) Y )  e.  V )
2511, 16, 17, 18, 22, 12, 6, 19, 24lvecvs0or 15877 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  ( X ( -g `  W
) Y ) )  =  ( 0g `  W )  <->  ( A  =  .0.  \/  ( X ( -g `  W
) Y )  =  ( 0g `  W
) ) ) )
2611, 17, 16, 18lmodvscl 15660 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
278, 19, 9, 26syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
2811, 17, 16, 18lmodvscl 15660 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .x.  Y )  e.  V )
298, 19, 10, 28syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  V )
3011, 12, 13lmodsubeq0 15700 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( A 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( ( A  .x.  X ) ( -g `  W ) ( A 
.x.  Y ) )  =  ( 0g `  W )  <->  ( A  .x.  X )  =  ( A  .x.  Y ) ) )
318, 27, 29, 30syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X ) (
-g `  W )
( A  .x.  Y
) )  =  ( 0g `  W )  <-> 
( A  .x.  X
)  =  ( A 
.x.  Y ) ) )
3221, 25, 313bitr3d 274 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  =  .0.  \/  ( X ( -g `  W
) Y )  =  ( 0g `  W
) )  <->  ( A  .x.  X )  =  ( A  .x.  Y ) ) )
335, 15, 323bitr3rd 275 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( A  .x.  Y )  <-> 
X  =  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164  Scalarcsca 13227   .scvsca 13228   0gc0g 13416   -gcsg 14381   LModclmod 15643   LVecclvec 15871
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-oppr 15421  df-dvdsr 15439  df-unit 15440  df-invr 15470  df-drng 15530  df-lmod 15645  df-lvec 15872
  Copyright terms: Public domain W3C validator