MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan2 Unicode version

Theorem lvecvscan2 15865
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 21652 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecmulcan2.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecmulcan2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecmulcan2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecmulcan2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lvecmulcan2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecmulcan2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecmulcan2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lvecmulcan2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lvecmulcan2.n  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X )  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem lvecvscan2
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan2.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
21neneqd 2462 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  =  .0.  )
3 biorf 394 . . . . 5  |-  ( -.  X  =  .0.  ->  ( ( A ( -g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <->  ( X  =  .0.  \/  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
) ) ) )
4 orcom 376 . . . . 5  |-  ( ( X  =  .0.  \/  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
) )  <->  ( ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
)  \/  X  =  .0.  ) )
53, 4syl6bb 252 . . . 4  |-  ( -.  X  =  .0.  ->  ( ( A ( -g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <->  ( ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
)  \/  X  =  .0.  ) ) )
62, 5syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <-> 
( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  \/  X  =  .0.  ) ) )
7 lvecmulcan2.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lvecmulcan2.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
9 lvecmulcan2.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
10 lvecmulcan2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
11 eqid 2283 . . . 4  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
12 lvecmulcan2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
13 lvecmulcan2.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
14 lveclmod 15859 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
1513, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
169lmodfgrp 15636 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
1715, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
18 lvecmulcan2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
19 lvecmulcan2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
20 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
2110, 20grpsubcl 14546 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A ( -g `  F ) B )  e.  K )
2217, 18, 19, 21syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( -g `  F ) B )  e.  K )
23 lvecmulcan2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23lvecvs0or 15861 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ( -g `  F
) B )  .x.  X )  =  .0.  <->  ( ( A ( -g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  \/  X  =  .0.  ) ) )
25 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
267, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23lmodsubdir 15683 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( -g `  W
) ( B  .x.  X ) ) )
2726eqeq1d 2291 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ( -g `  F
) B )  .x.  X )  =  .0.  <->  ( ( A  .x.  X
) ( -g `  W
) ( B  .x.  X ) )  =  .0.  ) )
286, 24, 273bitr2rd 273 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X ) (
-g `  W )
( B  .x.  X
) )  =  .0.  <->  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
) ) )
297, 9, 8, 10lmodvscl 15644 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
3015, 18, 23, 29syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
317, 9, 8, 10lmodvscl 15644 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
3215, 19, 23, 31syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
337, 12, 25lmodsubeq0 15684 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  X )  e.  V )  ->  (
( ( A  .x.  X ) ( -g `  W ) ( B 
.x.  X ) )  =  .0.  <->  ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X ) ) )
3415, 30, 32, 33syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X ) (
-g `  W )
( B  .x.  X
) )  =  .0.  <->  ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X ) ) )
3510, 11, 20grpsubeq0 14552 . . 3  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <-> 
A  =  B ) )
3617, 18, 19, 35syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <-> 
A  =  B ) )
3728, 34, 363bitr3d 274 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X )  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148  Scalarcsca 13211   .scvsca 13212   0gc0g 13400   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365   LModclmod 15627   LVecclvec 15855
This theorem is referenced by:  lspsneu  15876  lvecindp  15891  lvecindp2  15892  lshpsmreu  29299  lshpkrlem5  29304  hgmapval1  32086  hgmapadd  32087  hgmapmul  32088  hgmaprnlem1N  32089  hgmap11  32095
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-drng 15514  df-lmod 15629  df-lvec 15856
  Copyright terms: Public domain W3C validator