MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan2 Structured version   Unicode version

Theorem lvecvscan2 16176
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 22567 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan2.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lvecmulcan2.s  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lvecmulcan2.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lvecmulcan2.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lvecmulcan2.o  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
lvecmulcan2.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
lvecmulcan2.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lvecmulcan2.b  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
lvecmulcan2.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lvecmulcan2.n  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X )  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem lvecvscan2
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan2.n . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  =/=  .0.  )
21neneqd 2614 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  X  =  .0.  )
3 biorf 395 . . . . 5  |-  ( -.  X  =  .0.  ->  ( ( A ( -g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <->  ( X  =  .0.  \/  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
) ) ) )
4 orcom 377 . . . . 5  |-  ( ( X  =  .0.  \/  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
) )  <->  ( ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
)  \/  X  =  .0.  ) )
53, 4syl6bb 253 . . . 4  |-  ( -.  X  =  .0.  ->  ( ( A ( -g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <->  ( ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
)  \/  X  =  .0.  ) ) )
62, 5syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <-> 
( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  \/  X  =  .0.  ) ) )
7 lvecmulcan2.v . . . 4  |-  V  =  ( Base `  W
)
8 lvecmulcan2.s . . . 4  |-  .x.  =  ( .s `  W )
9 lvecmulcan2.f . . . 4  |-  F  =  (Scalar `  W )
10 lvecmulcan2.k . . . 4  |-  K  =  ( Base `  F
)
11 eqid 2435 . . . 4  |-  ( 0g
`  F )  =  ( 0g `  F
)
12 lvecmulcan2.o . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  W )
13 lvecmulcan2.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LVec )
14 lveclmod 16170 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
169lmodfgrp 15951 . . . . . 6  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Grp )
1715, 16syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
18 lvecmulcan2.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
19 lvecmulcan2.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  K )
20 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( -g `  F )  =  (
-g `  F )
2110, 20grpsubcl 14861 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( A ( -g `  F ) B )  e.  K )
2217, 18, 19, 21syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A ( -g `  F ) B )  e.  K )
23 lvecmulcan2.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23lvecvs0or 16172 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ( -g `  F
) B )  .x.  X )  =  .0.  <->  ( ( A ( -g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  \/  X  =  .0.  ) ) )
25 eqid 2435 . . . . 5  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
267, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23lmodsubdir 15994 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  .x.  X
)  =  ( ( A  .x.  X ) ( -g `  W
) ( B  .x.  X ) ) )
2726eqeq1d 2443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ( -g `  F
) B )  .x.  X )  =  .0.  <->  ( ( A  .x.  X
) ( -g `  W
) ( B  .x.  X ) )  =  .0.  ) )
286, 24, 273bitr2rd 274 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X ) (
-g `  W )
( B  .x.  X
) )  =  .0.  <->  ( A ( -g `  F
) B )  =  ( 0g `  F
) ) )
297, 9, 8, 10lmodvscl 15959 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
3015, 18, 23, 29syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
317, 9, 8, 10lmodvscl 15959 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( B  .x.  X )  e.  V )
3215, 19, 23, 31syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .x.  X
)  e.  V )
337, 12, 25lmodsubeq0 15995 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( B 
.x.  X )  e.  V )  ->  (
( ( A  .x.  X ) ( -g `  W ) ( B 
.x.  X ) )  =  .0.  <->  ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X ) ) )
3415, 30, 32, 33syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.x.  X ) (
-g `  W )
( B  .x.  X
) )  =  .0.  <->  ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X ) ) )
3510, 11, 20grpsubeq0 14867 . . 3  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  A  e.  K  /\  B  e.  K )  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <-> 
A  =  B ) )
3617, 18, 19, 35syl3anc 1184 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A (
-g `  F ) B )  =  ( 0g `  F )  <-> 
A  =  B ) )
3728, 34, 363bitr3d 275 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  =  ( B  .x.  X )  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461  Scalarcsca 13524   .scvsca 13525   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677   -gcsg 14680   LModclmod 15942   LVecclvec 16166
This theorem is referenced by:  lspsneu  16187  lvecindp  16202  lvecindp2  16203  lshpsmreu  29844  lshpkrlem5  29849  hgmapval1  32631  hgmapadd  32632  hgmapmul  32633  hgmaprnlem1N  32634  hgmap11  32640
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-drng 15829  df-lmod 15944  df-lvec 16167
  Copyright terms: Public domain W3C validator