Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolcmp Structured version   Unicode version

Theorem lvolcmp 30488
 Description: If two lattice planes are comparable, they are equal. (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolcmp.l
lvolcmp.v
Assertion
Ref Expression
lvolcmp

Proof of Theorem lvolcmp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 959 . . . 4
2 simp1 958 . . . . 5
3 eqid 2438 . . . . . . 7
4 lvolcmp.v . . . . . . 7
53, 4lvolbase 30449 . . . . . 6
653ad2ant2 980 . . . . 5
7 eqid 2438 . . . . . 6
8 eqid 2438 . . . . . 6
93, 7, 8, 4islvol4 30445 . . . . 5
102, 6, 9syl2anc 644 . . . 4
111, 10mpbid 203 . . 3
12 simpr3 966 . . . . . 6
13 hlpos 30237 . . . . . . . . 9
14133ad2ant1 979 . . . . . . . 8
1514adantr 453 . . . . . . 7
166adantr 453 . . . . . . 7
17 simpl3 963 . . . . . . . 8
183, 4lvolbase 30449 . . . . . . . 8
1917, 18syl 16 . . . . . . 7
20 simpr1 964 . . . . . . . 8
213, 8lplnbase 30405 . . . . . . . 8
2220, 21syl 16 . . . . . . 7
23 simpr2 965 . . . . . . 7
24 simpl1 961 . . . . . . . 8
25 lvolcmp.l . . . . . . . . . . 11
263, 25, 7cvrle 30150 . . . . . . . . . 10
2724, 22, 16, 23, 26syl31anc 1188 . . . . . . . . 9
283, 25postr 14415 . . . . . . . . . 10
2915, 22, 16, 19, 28syl13anc 1187 . . . . . . . . 9
3027, 12, 29mp2and 662 . . . . . . . 8
3125, 7, 8, 4lplncvrlvol2 30486 . . . . . . . 8
3224, 20, 17, 30, 31syl31anc 1188 . . . . . . 7
333, 25, 7cvrcmp 30155 . . . . . . 7
3415, 16, 19, 22, 23, 32, 33syl132anc 1203 . . . . . 6
3512, 34mpbid 203 . . . . 5
36353exp2 1172 . . . 4
3736rexlimdv 2831 . . 3
3811, 37mpd 15 . 2
393, 25posref 14413 . . . 4
4014, 6, 39syl2anc 644 . . 3
41 breq2 4219 . . 3
4240, 41syl5ibcom 213 . 2
4338, 42impbid 185 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708   class class class wbr 4215  cfv 5457  cbs 13474  cple 13541  cpo 14402   ccvr 30134  chlt 30222  clpl 30363  clvol 30364 This theorem is referenced by:  lvolnltN  30489  2lplnja  30490 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-llines 30369  df-lplanes 30370  df-lvols 30371
 Copyright terms: Public domain W3C validator