Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvoli2 Unicode version

Theorem lvoli2 29588
Description: The join of 4 different atoms is a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvoli2.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lvoli2.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lvoli2.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lvoli2.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lvoli2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  e.  V )

Proof of Theorem lvoli2
Dummy variables  q  p  r  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp12 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  P  e.  A )
2 simp13 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  Q  e.  A )
3 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
4 eqidd 2317 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S ) )
5 neeq1 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
p  =/=  q  <->  P  =/=  q ) )
6 oveq1 5907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  P  ->  (
p  .\/  q )  =  ( P  .\/  q ) )
76breq2d 4072 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  P  ->  ( R  .<_  ( p  .\/  q )  <->  R  .<_  ( P  .\/  q ) ) )
87notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  ( -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  <->  -.  R  .<_  ( P  .\/  q
) ) )
96oveq1d 5915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  =  P  ->  (
( p  .\/  q
)  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  q )  .\/  R ) )
109breq2d 4072 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  =  P  ->  ( S  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  <->  S  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  R ) ) )
1110notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  ( -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R )  <->  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  R
) ) )
125, 8, 113anbi123d 1252 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  <-> 
( P  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  R ) ) ) )
139oveq1d 5915 . . . . . . . . 9  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( p  .\/  q )  .\/  R
)  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  q ) 
.\/  R )  .\/  S ) )
1413eqeq2d 2327 . . . . . . . 8  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R )  .\/  S )  <->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )
1512, 14anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) )  <->  ( ( P  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P 
.\/  q )  .\/  R ) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( P 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) ) ) )
16 neeq2 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  ( P  =/=  q  <->  P  =/=  Q ) )
17 oveq2 5908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  Q  ->  ( P  .\/  q )  =  ( P  .\/  Q
) )
1817breq2d 4072 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  Q  ->  ( R  .<_  ( P  .\/  q )  <->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
1918notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  ( -.  R  .<_  ( P 
.\/  q )  <->  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )
2017oveq1d 5915 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  Q  ->  (
( P  .\/  q
)  .\/  R )  =  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
2120breq2d 4072 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  =  Q  ->  ( S  .<_  ( ( P 
.\/  q )  .\/  R )  <->  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
2221notbid 285 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  ( -.  S  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  R )  <->  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
2316, 19, 223anbi123d 1252 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Q  ->  (
( P  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  q ) 
.\/  R ) )  <-> 
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) ) )
2420oveq1d 5915 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( P  .\/  q )  .\/  R
)  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S ) )
2524eqeq2d 2327 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  q ) 
.\/  R )  .\/  S )  <->  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )
2623, 25anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( P  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( P 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) )  <->  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S ) ) ) )
2715, 26rspc2ev 2926 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S ) ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )
281, 2, 3, 4, 27syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )
29283exp 1150 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) ) ) ) )
30 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)  /\  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  R  e.  A
)
31 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)  /\  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  S  e.  A
)
32 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)  /\  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  R ) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) ) )
33 breq1 4063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
r  .<_  ( p  .\/  q )  <->  R  .<_  ( p  .\/  q ) ) )
3433notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  <->  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
) ) )
35 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  R  ->  (
( p  .\/  q
)  .\/  r )  =  ( ( p 
.\/  q )  .\/  R ) )
3635breq2d 4072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  R  ->  (
s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  <->  s  .<_  ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )
) )
3736notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  <->  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) ) )
3834, 373anbi23d 1255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  <-> 
( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) ) ) )
3935oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( p  .\/  q )  .\/  r
)  .\/  s )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R )  .\/  s ) )
4039eqeq2d 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r )  .\/  s )  <->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  R
)  .\/  s )
) )
4138, 40anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  R  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) )  <->  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  s ) ) ) )
42 breq1 4063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  S  ->  (
s  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  <->  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) ) )
4342notbid 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  ( -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R )  <->  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) ) )
44433anbi3d 1258 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  <-> 
( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) ) ) )
45 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( p  .\/  q )  .\/  R
)  .\/  s )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R )  .\/  S ) )
4645eqeq2d 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R )  .\/  s )  <->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q )  .\/  R
)  .\/  S )
) )
4744, 46anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  s ) )  <->  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p 
.\/  q )  .\/  R ) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) ) ) )
4841, 47rspc2ev 2926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A  /\  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) )
4930, 31, 32, 48syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A )
)  /\  ( (
p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  R ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  R )  .\/  S ) ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) )
5049ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
) )  ->  (
( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) )  ->  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) )
5150reximdv 2688 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
) )  ->  ( E. q  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) )  ->  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) )
5251reximdv 2688 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
) )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) )
5352ex 423 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( E. p  e.  A  E. q  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  R  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  R
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  R )  .\/  S ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) ) )
5429, 53syldd 61 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( ( R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  (
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( ( p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p  .\/  q
)  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q )  .\/  r
) )  /\  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  =  ( ( ( p 
.\/  q )  .\/  r )  .\/  s
) ) ) ) )
55543imp 1145 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) )
56 simp11 985 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  HL )
57 hllat 29371 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
5856, 57syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  K  e.  Lat )
59 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
60 lvoli2.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
61 lvoli2.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
6259, 60, 61hlatjcl 29374 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
63623ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )
64 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  A )
6559, 61atbase 29297 . . . . . 6  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
6664, 65syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
6759, 60latjcl 14205 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  R  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( Base `  K ) )
6858, 63, 66, 67syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
69 simp2r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  A )
7059, 61atbase 29297 . . . . 5  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
7169, 70syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
7259, 60latjcl 14205 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( Base `  K
)  /\  S  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  .\/  S )  e.  (
Base `  K )
)
7358, 68, 71, 72syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  e.  ( Base `  K
) )
74 lvoli2.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
75 lvoli2.v . . . 4  |-  V  =  ( LVols `  K )
7659, 74, 60, 61, 75islvol5 29586 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  e.  V  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) )
7756, 73, 76syl2anc 642 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  .\/  S )  e.  V  <->  E. p  e.  A  E. q  e.  A  E. r  e.  A  E. s  e.  A  ( (
p  =/=  q  /\  -.  r  .<_  ( p 
.\/  q )  /\  -.  s  .<_  ( ( p  .\/  q ) 
.\/  r ) )  /\  ( ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  .\/  S )  =  ( ( ( p  .\/  q
)  .\/  r )  .\/  s ) ) ) )
7855, 77mpbird 223 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) ) )  ->  (
( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) 
.\/  S )  e.  V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   E.wrex 2578   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Basecbs 13195   lecple 13262   joincjn 14127   Latclat 14200   Atomscatm 29271   HLchlt 29358   LVolsclvol 29500
This theorem is referenced by:  islvol2aN  29599  4atlem3  29603  2lplnja  29626
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-undef 6340  df-riota 6346  df-poset 14129  df-plt 14141  df-lub 14157  df-glb 14158  df-join 14159  df-meet 14160  df-p0 14194  df-lat 14201  df-clat 14263  df-oposet 29184  df-ol 29186  df-oml 29187  df-covers 29274  df-ats 29275  df-atl 29306  df-cvlat 29330  df-hlat 29359  df-llines 29505  df-lplanes 29506  df-lvols 29507
  Copyright terms: Public domain W3C validator