Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolneatN Unicode version

Theorem lvolneatN 29846
Description: No lattice volume is an atom. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolneat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lvolneat.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lvolneatN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  ->  -.  X  e.  A
)

Proof of Theorem lvolneatN
StepHypRef Expression
1 hllat 29622 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2358 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 lvolneat.v . . . 4  |-  V  =  ( LVols `  K )
42, 3lvolbase 29836 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
5 eqid 2358 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
62, 5latref 14258 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  ->  X ( le `  K ) X )
71, 4, 6syl2an 463 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  ->  X ( le `  K ) X )
8 lvolneat.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
95, 8, 3lvolnleat 29841 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  X  e.  A )  ->  -.  X ( le
`  K ) X )
1093expia 1153 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  ->  ( X  e.  A  ->  -.  X ( le
`  K ) X ) )
117, 10mt2d 109 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  ->  -.  X  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4104   ` cfv 5337   Basecbs 13245   lecple 13312   Latclat 14250   Atomscatm 29522   HLchlt 29609   LVolsclvol 29751
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4212  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-undef 6385  df-riota 6391  df-poset 14179  df-plt 14191  df-lub 14207  df-glb 14208  df-join 14209  df-meet 14210  df-p0 14244  df-lat 14251  df-clat 14313  df-oposet 29435  df-ol 29437  df-oml 29438  df-covers 29525  df-ats 29526  df-atl 29557  df-cvlat 29581  df-hlat 29610  df-llines 29756  df-lplanes 29757  df-lvols 29758
  Copyright terms: Public domain W3C validator