Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolnelln Unicode version

Theorem lvolnelln 29704
Description: No lattice volume is a lattice line. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnelln.l  |-  N  =  ( LLines `  K )
lvolnelln.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lvolnelln  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  ->  -.  X  e.  N
)

Proof of Theorem lvolnelln
StepHypRef Expression
1 hllat 29479 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2388 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 lvolnelln.v . . . 4  |-  V  =  ( LVols `  K )
42, 3lvolbase 29693 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
5 eqid 2388 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
62, 5latref 14410 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  ->  X ( le `  K ) X )
71, 4, 6syl2an 464 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  ->  X ( le `  K ) X )
8 lvolnelln.l . . . 4  |-  N  =  ( LLines `  K )
95, 8, 3lvolnlelln 29699 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  X  e.  N )  ->  -.  X ( le
`  K ) X )
1093expia 1155 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  ->  ( X  e.  N  ->  -.  X ( le
`  K ) X ) )
117, 10mt2d 111 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  ->  -.  X  e.  N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4154   ` cfv 5395   Basecbs 13397   lecple 13464   Latclat 14402   HLchlt 29466   LLinesclln 29606   LVolsclvol 29608
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol  29731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-undef 6480  df-riota 6486  df-poset 14331  df-plt 14343  df-lub 14359  df-glb 14360  df-join 14361  df-meet 14362  df-p0 14396  df-lat 14403  df-clat 14465  df-oposet 29292  df-ol 29294  df-oml 29295  df-covers 29382  df-ats 29383  df-atl 29414  df-cvlat 29438  df-hlat 29467  df-llines 29613  df-lplanes 29614  df-lvols 29615
  Copyright terms: Public domain W3C validator