Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvolnelpln Unicode version

Theorem lvolnelpln 29706
Description: No lattice volume is a lattice plane. (Contributed by NM, 19-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnelpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
lvolnelpln.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lvolnelpln  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  ->  -.  X  e.  P
)

Proof of Theorem lvolnelpln
StepHypRef Expression
1 hllat 29480 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2 eqid 2389 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 lvolnelpln.v . . . 4  |-  V  =  ( LVols `  K )
42, 3lvolbase 29694 . . 3  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
5 eqid 2389 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
62, 5latref 14411 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K ) )  ->  X ( le `  K ) X )
71, 4, 6syl2an 464 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  ->  X ( le `  K ) X )
8 lvolnelpln.p . . . 4  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
95, 8, 3lvolnlelpln 29701 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V  /\  X  e.  P )  ->  -.  X ( le
`  K ) X )
1093expia 1155 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  ->  ( X  e.  P  ->  -.  X ( le
`  K ) X ) )
117, 10mt2d 111 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  ->  -.  X  e.  P
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4155   ` cfv 5396   Basecbs 13398   lecple 13465   Latclat 14403   HLchlt 29467   LPlanesclpl 29608   LVolsclvol 29609
This theorem is referenced by:  lplncvrlvol2  29731  lplncvrlvol  29732
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-undef 6481  df-riota 6487  df-poset 14332  df-plt 14344  df-lub 14360  df-glb 14361  df-join 14362  df-meet 14363  df-p0 14397  df-lat 14404  df-clat 14466  df-oposet 29293  df-ol 29295  df-oml 29296  df-covers 29383  df-ats 29384  df-atl 29415  df-cvlat 29439  df-hlat 29468  df-llines 29614  df-lplanes 29615  df-lvols 29616
  Copyright terms: Public domain W3C validator