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Theorem lvolnle3at 29747
Description: A lattice plane (or lattice line or atom) cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnle3at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lvolnle3at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lvolnle3at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lvolnle3at.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lvolnle3at  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )

Proof of Theorem lvolnle3at
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  ->  X  e.  V )
2 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 eqid 2380 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( LPlanes `  K )  =  (
LPlanes `  K )
5 lvolnle3at.v . . . . . 6  |-  V  =  ( LVols `  K )
62, 3, 4, 5islvol 29738 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  V  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. y  e.  ( LPlanes `  K )
y (  <o  `  K
) X ) ) )
76ad2antrr 707 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  -> 
( X  e.  V  <->  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  E. y  e.  ( LPlanes `  K ) y ( 
<o  `  K ) X ) ) )
81, 7mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  -> 
( X  e.  (
Base `  K )  /\  E. y  e.  (
LPlanes `  K ) y (  <o  `  K ) X ) )
98simprd 450 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  ->  E. y  e.  ( LPlanes
`  K ) y (  <o  `  K ) X )
10 oveq1 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  Q
) )
1110oveq1d 6028 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  Q  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( Q 
.\/  Q )  .\/  R ) )
1211breq2d 4158 . . . . . . 7  |-  ( P  =  Q  ->  ( X  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  X  .<_  ( ( Q  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
1312notbid 286 . . . . . 6  |-  ( P  =  Q  ->  ( -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  <->  -.  X  .<_  ( ( Q  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
14 simp1l 981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  K  e.  HL )
15 simp3l 985 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
y  e.  ( LPlanes `  K ) )
16 simp21 990 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  P  e.  A )
17 simp22 991 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  Q  e.  A )
18 lvolnle3at.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  .<_  =  ( le `  K )
19 lvolnle3at.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  .\/  =  ( join `  K )
20 lvolnle3at.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2118, 19, 20, 4lplnnle2at 29706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)  ->  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )
2214, 15, 16, 17, 21syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  -.  y  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
232, 4lplnbase 29699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( LPlanes `  K
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
2415, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
y  e.  ( Base `  K ) )
25 simp1r 982 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  X  e.  V )
262, 5lvolbase 29743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
28 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
y (  <o  `  K
) X )
29 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
302, 29, 3cvrlt 29436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  y
(  <o  `  K ) X )  ->  y
( lt `  K
) X )
3114, 24, 27, 28, 30syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
y ( lt `  K ) X )
32 hlpos 29531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
3314, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  K  e.  Poset )
342, 19, 20hlatjcl 29532 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3514, 16, 17, 34syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
362, 18, 29pltletr 14348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( y ( lt
`  K ) X  /\  X  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y ( lt
`  K ) ( P  .\/  Q ) ) )
3733, 24, 27, 35, 36syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( ( y ( lt `  K ) X  /\  X  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  y ( lt `  K ) ( P  .\/  Q ) ) )
3831, 37mpand 657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( X  .<_  ( P 
.\/  Q )  -> 
y ( lt `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )
3918, 29pltle 14338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
y ( lt `  K ) ( P 
.\/  Q )  -> 
y  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
4014, 15, 35, 39syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( y ( lt
`  K ) ( P  .\/  Q )  ->  y  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
4138, 40syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( X  .<_  ( P 
.\/  Q )  -> 
y  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
4222, 41mtod 170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
4342adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  X  .<_  ( P  .\/  Q ) )
44 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
45 hllat 29529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4614, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  K  e.  Lat )
47 simp23 992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  R  e.  A )
482, 20atbase 29455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
4947, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  R  e.  ( Base `  K ) )
502, 18, 19latleeqj2 14413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( P 
.\/  Q ) ) )
5146, 49, 35, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( P 
.\/  Q ) ) )
5251adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( P 
.\/  Q ) ) )
5344, 52mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( P  .\/  Q ) )
5453breq2d 4158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( X  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  X  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
5543, 54mtbird 293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
5655anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  P  =/=  Q
)  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
57 simpl1l 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  HL )
58 simpl3l 1012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
y  e.  ( LPlanes `  K ) )
59 simpl2 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )
60 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
6118, 19, 20, 4lplni2 29702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( LPlanes `  K
) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( LPlanes `  K
) )
6329, 4lplnnlt 29730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  e.  ( LPlanes `  K )
)  ->  -.  y
( lt `  K
) ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
6457, 58, 62, 63syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  y ( lt `  K ) ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
652, 19latjcl 14399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  R  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( Base `  K ) )
6646, 35, 49, 65syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
672, 18, 29pltletr 14348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( y ( lt `  K
) X  /\  X  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )  ->  y ( lt `  K ) ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
) )
6833, 24, 27, 66, 67syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( ( y ( lt `  K ) X  /\  X  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
)  ->  y ( lt `  K ) ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
) )
6931, 68mpand 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  -> 
y ( lt `  K ) ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
7069adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  -> 
y ( lt `  K ) ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
7164, 70mtod 170 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
7271anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  P  =/=  Q
)  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
7356, 72pm2.61dan 767 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  P  =/=  Q
)  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
74 eqid 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
7574, 19, 20, 4lplnnle2at 29706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  ->  -.  y
( le `  K
) ( Q  .\/  R ) )
7614, 15, 17, 47, 75syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  -.  y ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) )
772, 19, 20hlatjcl 29532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
7814, 17, 47, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
792, 18, 29pltletr 14348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( y ( lt
`  K ) X  /\  X  .<_  ( Q 
.\/  R ) )  ->  y ( lt
`  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
8033, 24, 27, 78, 79syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( ( y ( lt `  K ) X  /\  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )  ->  y ( lt `  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
8131, 80mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( X  .<_  ( Q 
.\/  R )  -> 
y ( lt `  K ) ( Q 
.\/  R ) ) )
8274, 29pltle 14338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
y ( lt `  K ) ( Q 
.\/  R )  -> 
y ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) ) )
8314, 15, 78, 82syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( y ( lt
`  K ) ( Q  .\/  R )  ->  y ( le
`  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
8481, 83syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( X  .<_  ( Q 
.\/  R )  -> 
y ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) ) )
8576, 84mtod 170 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( Q 
.\/  R ) )
8619, 20hlatjidm 29534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  ( Q  .\/  Q
)  =  Q )
8714, 17, 86syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( Q  .\/  Q
)  =  Q )
8887oveq1d 6028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( ( Q  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( Q  .\/  R ) )
8988breq2d 4158 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( X  .<_  ( ( Q  .\/  Q ) 
.\/  R )  <->  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )
9085, 89mtbird 293 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( Q  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
9113, 73, 90pm2.61ne 2618 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
92913expia 1155 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  -> 
( ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X )  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
9392exp3a 426 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  -> 
( y  e.  (
LPlanes `  K )  -> 
( y (  <o  `  K ) X  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) ) )
9493rexlimdv 2765 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  ( LPlanes `  K )
y (  <o  `  K
) X  ->  -.  X  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) ) )
959, 94mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   E.wrex 2643   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389   lecple 13456   Posetcpo 14317   ltcplt 14318   joincjn 14321   Latclat 14394    <o ccvr 29428   Atomscatm 29429   HLchlt 29516   LPlanesclpl 29657   LVolsclvol 29658
This theorem is referenced by:  lvolnleat  29748  lvolnlelln  29749  lvolnlelpln  29750  3atnelvolN  29751  4atlem3  29761  dalem39  29876
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-undef 6472  df-riota 6478  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-lat 14395  df-clat 14457  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-lplanes 29664  df-lvols 29665
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