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Theorem lvolnle3at 30393
Description: A lattice plane (or lattice line or atom) cannot majorize a lattice volume. (Contributed by NM, 8-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lvolnle3at.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
lvolnle3at.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
lvolnle3at.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
lvolnle3at.v  |-  V  =  ( LVols `  K )
Assertion
Ref Expression
lvolnle3at  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )

Proof of Theorem lvolnle3at
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 731 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  ->  X  e.  V )
2 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 eqid 2296 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( LPlanes `  K )  =  (
LPlanes `  K )
5 lvolnle3at.v . . . . . 6  |-  V  =  ( LVols `  K )
62, 3, 4, 5islvol 30384 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( X  e.  V  <->  ( X  e.  ( Base `  K
)  /\  E. y  e.  ( LPlanes `  K )
y (  <o  `  K
) X ) ) )
76ad2antrr 706 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  -> 
( X  e.  V  <->  ( X  e.  ( Base `  K )  /\  E. y  e.  ( LPlanes `  K ) y ( 
<o  `  K ) X ) ) )
81, 7mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  -> 
( X  e.  (
Base `  K )  /\  E. y  e.  (
LPlanes `  K ) y (  <o  `  K ) X ) )
98simprd 449 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  ->  E. y  e.  ( LPlanes
`  K ) y (  <o  `  K ) X )
10 oveq1 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( P  =  Q  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( Q  .\/  Q
) )
1110oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( P  =  Q  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( ( Q 
.\/  Q )  .\/  R ) )
1211breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( P  =  Q  ->  ( X  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  X  .<_  ( ( Q  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
1312notbid 285 . . . . . 6  |-  ( P  =  Q  ->  ( -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  <->  -.  X  .<_  ( ( Q  .\/  Q )  .\/  R ) ) )
14 simp1l 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  K  e.  HL )
15 simp3l 983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
y  e.  ( LPlanes `  K ) )
16 simp21 988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  P  e.  A )
17 simp22 989 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  Q  e.  A )
18 lvolnle3at.l . . . . . . . . . . . . 13  |-  .<_  =  ( le `  K )
19 lvolnle3at.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  .\/  =  ( join `  K )
20 lvolnle3at.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2118, 19, 20, 4lplnnle2at 30352 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )
)  ->  -.  y  .<_  ( P  .\/  Q
) )
2214, 15, 16, 17, 21syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  -.  y  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
232, 4lplnbase 30345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( LPlanes `  K
)  ->  y  e.  ( Base `  K )
)
2415, 23syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
y  e.  ( Base `  K ) )
25 simp1r 980 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  X  e.  V )
262, 5lvolbase 30389 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
28 simp3r 984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
y (  <o  `  K
) X )
29 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( lt
`  K )  =  ( lt `  K
)
302, 29, 3cvrlt 30082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
) )  /\  y
(  <o  `  K ) X )  ->  y
( lt `  K
) X )
3114, 24, 27, 28, 30syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
y ( lt `  K ) X )
32 hlpos 30177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
3314, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  K  e.  Poset )
342, 19, 20hlatjcl 30178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
3514, 16, 17, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
362, 18, 29pltletr 14121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( y ( lt
`  K ) X  /\  X  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y ( lt
`  K ) ( P  .\/  Q ) ) )
3733, 24, 27, 35, 36syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( ( y ( lt `  K ) X  /\  X  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  y ( lt `  K ) ( P  .\/  Q ) ) )
3831, 37mpand 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( X  .<_  ( P 
.\/  Q )  -> 
y ( lt `  K ) ( P 
.\/  Q ) ) )
3918, 29pltle 14111 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
y ( lt `  K ) ( P 
.\/  Q )  -> 
y  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
4014, 15, 35, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( y ( lt
`  K ) ( P  .\/  Q )  ->  y  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
4138, 40syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( X  .<_  ( P 
.\/  Q )  -> 
y  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
4222, 41mtod 168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
4342adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  X  .<_  ( P  .\/  Q ) )
44 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
45 hllat 30175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
4614, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  K  e.  Lat )
47 simp23 990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  R  e.  A )
482, 20atbase 30101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  R  e.  ( Base `  K ) )
502, 18, 19latleeqj2 14186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( P 
.\/  Q ) ) )
5146, 49, 35, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( P 
.\/  Q ) ) )
5251adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  <->  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  =  ( P 
.\/  Q ) ) )
5344, 52mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  =  ( P  .\/  Q ) )
5453breq2d 4051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  ( X  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R )  <->  X  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
5543, 54mtbird 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
5655anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  P  =/=  Q
)  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
57 simpl1l 1006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  HL )
58 simpl3l 1010 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
y  e.  ( LPlanes `  K ) )
59 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
) )
60 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
6118, 19, 20, 4lplni2 30348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( LPlanes `  K
) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( LPlanes `  K
) )
6329, 4lplnnlt 30376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  (
( P  .\/  Q
)  .\/  R )  e.  ( LPlanes `  K )
)  ->  -.  y
( lt `  K
) ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
6457, 58, 62, 63syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  y ( lt `  K ) ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
652, 19latjcl 14172 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  R  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( Base `  K ) )
6646, 35, 49, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )
672, 18, 29pltletr 14121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R )  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( y ( lt `  K
) X  /\  X  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )  ->  y ( lt `  K ) ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
) )
6833, 24, 27, 66, 67syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( ( y ( lt `  K ) X  /\  X  .<_  ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
)  ->  y ( lt `  K ) ( ( P  .\/  Q
)  .\/  R )
) )
6931, 68mpand 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  -> 
y ( lt `  K ) ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
7069adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R )  -> 
y ( lt `  K ) ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
7164, 70mtod 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
7271anassrs 629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  P  =/=  Q
)  /\  -.  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) )
7356, 72pm2.61dan 766 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X ) )  /\  P  =/=  Q
)  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q )  .\/  R ) )
74 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
7574, 19, 20, 4lplnnle2at 30352 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  e.  (
LPlanes `  K )  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  ->  -.  y
( le `  K
) ( Q  .\/  R ) )
7614, 15, 17, 47, 75syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  -.  y ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) )
772, 19, 20hlatjcl 30178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
7814, 17, 47, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
792, 18, 29pltletr 14121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
y  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( Q  .\/  R )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( y ( lt
`  K ) X  /\  X  .<_  ( Q 
.\/  R ) )  ->  y ( lt
`  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
8033, 24, 27, 78, 79syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( ( y ( lt `  K ) X  /\  X  .<_  ( Q  .\/  R ) )  ->  y ( lt `  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
8131, 80mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( X  .<_  ( Q 
.\/  R )  -> 
y ( lt `  K ) ( Q 
.\/  R ) ) )
8274, 29pltle 14111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
y ( lt `  K ) ( Q 
.\/  R )  -> 
y ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) ) )
8314, 15, 78, 82syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( y ( lt
`  K ) ( Q  .\/  R )  ->  y ( le
`  K ) ( Q  .\/  R ) ) )
8481, 83syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( X  .<_  ( Q 
.\/  R )  -> 
y ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) ) )
8576, 84mtod 168 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( Q 
.\/  R ) )
8619, 20hlatjidm 30180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A )  ->  ( Q  .\/  Q
)  =  Q )
8714, 17, 86syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( Q  .\/  Q
)  =  Q )
8887oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( ( Q  .\/  Q )  .\/  R )  =  ( Q  .\/  R ) )
8988breq2d 4051 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  -> 
( X  .<_  ( ( Q  .\/  Q ) 
.\/  R )  <->  X  .<_  ( Q  .\/  R ) ) )
9085, 89mtbird 292 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( Q  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
9113, 73, 90pm2.61ne 2534 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  (
y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y
(  <o  `  K ) X ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
92913expia 1153 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  -> 
( ( y  e.  ( LPlanes `  K )  /\  y (  <o  `  K
) X )  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) )
9392exp3a 425 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  -> 
( y  e.  (
LPlanes `  K )  -> 
( y (  <o  `  K ) X  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) ) ) )
9493rexlimdv 2679 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  ( LPlanes `  K )
y (  <o  `  K
) X  ->  -.  X  .<_  ( ( P 
.\/  Q )  .\/  R ) ) )
959, 94mpd 14 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  V )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A ) )  ->  -.  X  .<_  ( ( P  .\/  Q ) 
.\/  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   ltcplt 14091   joincjn 14094   Latclat 14167    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LPlanesclpl 30303   LVolsclvol 30304
This theorem is referenced by:  lvolnleat  30394  lvolnlelln  30395  lvolnlelpln  30396  3atnelvolN  30397  4atlem3  30407  dalem39  30522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311
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