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Theorem lvsovso2 25627
Description: Condition on the elements of the filter so that the limits are weakly ordered. Bourbaki TG IV.18 prop. 1. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvsovso.l1  |-  L1  =  U. ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )
lvsovso.l2  |-  L 2  =  U. ( ( J 
fLimf  F ) `  F 2 )
lvsovso.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
lvsovso2  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  /\  ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x ) ) )  ->  L1  <_  L 2 )
Distinct variable groups:    F, a, x    a, F1, x    a, F 2, x    J, a, x   
x, L1    x, L 2    Y, a, x
Allowed substitution hints:    L1( a)    L 2( a)

Proof of Theorem lvsovso2
StepHypRef Expression
1 lvsovso.l2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  L 2  =  U. ( ( J 
fLimf  F ) `  F 2 )
2 lvsovso.l1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  L1  =  U. ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )
3 lvsovso.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
41, 2, 3lvsovso 25626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F 2 : Y
--> RR  /\  F1 : Y
--> RR )  /\  (
( ( J  fLimf  F ) `  F 2
)  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F1 )  =/=  (/)  /\  L 2  <  L1 ) )  ->  E. a  e.  F  A. x  e.  a 
( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x ) )
54ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F 2 : Y --> RR  /\  F1 : Y --> RR )  ->  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  L 2  <  L1 )  ->  E. a  e.  F  A. x  e.  a  ( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x
) ) )
653com23 1157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y
--> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  -> 
( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( ( J 
fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  L 2  <  L1 )  ->  E. a  e.  F  A. x  e.  a  ( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x
) ) )
763expd 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y
--> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  -> 
( ( ( J 
fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  ->  (
( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  ->  ( L 2  <  L1  ->  E. a  e.  F  A. x  e.  a  ( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x
) ) ) ) )
87com13 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  fLimf  F ) `
 F1 )  =/=  (/)  ->  (
( ( J  fLimf  F ) `  F 2
)  =/=  (/)  ->  (
( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  ->  ( L 2  <  L1  ->  E. a  e.  F  A. x  e.  a  ( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x
) ) ) ) )
983imp 1145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( L 2  <  L1 
->  E. a  e.  F  A. x  e.  a 
( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x ) ) )
10 simp31 991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  ->  F  e.  ( Fil `  Y ) )
11 simp33 993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  ->  F 2 : Y --> RR )
12 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( ( J  fLimf  F ) `  F 2
)  =/=  (/) )
131, 3limnumrr 25622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F 2 : Y --> RR  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2
)  =/=  (/) )  ->  L 2  e.  RR )
1410, 11, 12, 13syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  ->  L 2  e.  RR )
15 simp32 992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  ->  F1 : Y --> RR )
16 simp1 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/) )
172, 3limnumrr 25622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y
--> RR  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/) )  ->  L1  e.  RR )
1810, 15, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  ->  L1  e.  RR )
1914, 18ltnled 8966 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( L 2  <  L1  <->  -.  L1  <_  L 2 )
)
2019bicomd 192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( -.  L1  <_  L 2  <->  L 2  <  L1 )
)
21 rexnal 2554 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  F  -.  E. x  e.  a  (
F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  -.  A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x ) )
22 ralnex 2553 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  a  -.  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  -.  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x ) )
2311ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  F 2 : Y --> RR )
24 filelss 17547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  a  e.  F )  ->  a  C_  Y )
2510, 24sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J 
fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  ->  a  C_  Y )
2625sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  x  e.  Y )
27 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F 2 : Y --> RR  /\  x  e.  Y
)  ->  ( F 2 `  x )  e.  RR )
2823, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  ( F 2 `  x )  e.  RR )
2915ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  F1 : Y --> RR )
30 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
F1 : Y --> RR  /\  x  e.  Y )  ->  ( F1 `  x
)  e.  RR )
3129, 26, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  ( F1 `  x )  e.  RR )
3228, 31ltnled 8966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  ( ( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x
)  <->  -.  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x ) ) )
3332bicomd 192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  ( -.  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  ( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x
) ) )
3433ralbidva 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J 
fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  ->  ( A. x  e.  a  -.  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  A. x  e.  a 
( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x ) ) )
3522, 34syl5bbr 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J 
fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  ->  ( -.  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  A. x  e.  a 
( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x ) ) )
3635rexbidva 2560 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( E. a  e.  F  -.  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  E. a  e.  F  A. x  e.  a 
( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x ) ) )
3721, 36syl5bbr 250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( -.  A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  E. a  e.  F  A. x  e.  a 
( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x ) ) )
389, 20, 373imtr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( -.  L1  <_  L 2  ->  -.  A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x ) ) )
3938con4d 97 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x
)  <_  ( F 2 `  x )  -> 
L1  <_  L 2 )
)
40393exp 1150 . . . 4  |-  ( ( ( J  fLimf  F ) `
 F1 )  =/=  (/)  ->  (
( ( J  fLimf  F ) `  F 2
)  =/=  (/)  ->  (
( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  ->  ( A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  ->  L1  <_  L 2
) ) ) )
4140com34 77 . . 3  |-  ( ( ( J  fLimf  F ) `
 F1 )  =/=  (/)  ->  (
( ( J  fLimf  F ) `  F 2
)  =/=  (/)  ->  ( A. a  e.  F  E. x  e.  a 
( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  ->  (
( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  ->  L1  <_  L 2
) ) ) )
42413imp 1145 . 2  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x
)  <_  ( F 2 `  x )
)  ->  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y
--> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  ->  L1 
<_  L 2 ) )
4342impcom 419 1  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  /\  ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x ) ) )  ->  L1  <_  L 2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736    < clt 8867    <_ cle 8868   (,)cioo 10656   topGenctg 13342   Filcfil 17540    fLimf cflf 17630
This theorem is referenced by:  lvsovso3  25628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-icc 10663  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-ntr 16757  df-nei 16835  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635
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