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Theorem lvsovso2 25730
Description: Condition on the elements of the filter so that the limits are weakly ordered. Bourbaki TG IV.18 prop. 1. (Contributed by FL, 30-Dec-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lvsovso.l1  |-  L1  =  U. ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )
lvsovso.l2  |-  L 2  =  U. ( ( J 
fLimf  F ) `  F 2 )
lvsovso.j  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
Assertion
Ref Expression
lvsovso2  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  /\  ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x ) ) )  ->  L1  <_  L 2 )
Distinct variable groups:    F, a, x    a, F1, x    a, F 2, x    J, a, x   
x, L1    x, L 2    Y, a, x
Allowed substitution hints:    L1( a)    L 2( a)

Proof of Theorem lvsovso2
StepHypRef Expression
1 lvsovso.l2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  L 2  =  U. ( ( J 
fLimf  F ) `  F 2 )
2 lvsovso.l1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  L1  =  U. ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )
3 lvsovso.j . . . . . . . . . . . . 13  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
41, 2, 3lvsovso 25729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F 2 : Y
--> RR  /\  F1 : Y
--> RR )  /\  (
( ( J  fLimf  F ) `  F 2
)  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F1 )  =/=  (/)  /\  L 2  <  L1 ) )  ->  E. a  e.  F  A. x  e.  a 
( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x ) )
54ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F 2 : Y --> RR  /\  F1 : Y --> RR )  ->  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  L 2  <  L1 )  ->  E. a  e.  F  A. x  e.  a  ( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x
) ) )
653com23 1157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y
--> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  -> 
( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( ( J 
fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  L 2  <  L1 )  ->  E. a  e.  F  A. x  e.  a  ( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x
) ) )
763expd 1168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y
--> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  -> 
( ( ( J 
fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  ->  (
( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  ->  ( L 2  <  L1  ->  E. a  e.  F  A. x  e.  a  ( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x
) ) ) ) )
87com13 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  fLimf  F ) `
 F1 )  =/=  (/)  ->  (
( ( J  fLimf  F ) `  F 2
)  =/=  (/)  ->  (
( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  ->  ( L 2  <  L1  ->  E. a  e.  F  A. x  e.  a  ( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x
) ) ) ) )
983imp 1145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( L 2  <  L1 
->  E. a  e.  F  A. x  e.  a 
( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x ) ) )
10 simp31 991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  ->  F  e.  ( Fil `  Y ) )
11 simp33 993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  ->  F 2 : Y --> RR )
12 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( ( J  fLimf  F ) `  F 2
)  =/=  (/) )
131, 3limnumrr 25725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F 2 : Y --> RR  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2
)  =/=  (/) )  ->  L 2  e.  RR )
1410, 11, 12, 13syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  ->  L 2  e.  RR )
15 simp32 992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  ->  F1 : Y --> RR )
16 simp1 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/) )
172, 3limnumrr 25725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y
--> RR  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/) )  ->  L1  e.  RR )
1810, 15, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  ->  L1  e.  RR )
1914, 18ltnled 8982 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( L 2  <  L1  <->  -.  L1  <_  L 2 )
)
2019bicomd 192 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( -.  L1  <_  L 2  <->  L 2  <  L1 )
)
21 rexnal 2567 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  F  -.  E. x  e.  a  (
F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  -.  A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x ) )
22 ralnex 2566 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  a  -.  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  -.  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x ) )
2311ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  F 2 : Y --> RR )
24 filelss 17563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  a  e.  F )  ->  a  C_  Y )
2510, 24sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J 
fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  ->  a  C_  Y )
2625sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  x  e.  Y )
27 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F 2 : Y --> RR  /\  x  e.  Y
)  ->  ( F 2 `  x )  e.  RR )
2823, 26, 27syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  ( F 2 `  x )  e.  RR )
2915ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  F1 : Y --> RR )
30 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
F1 : Y --> RR  /\  x  e.  Y )  ->  ( F1 `  x
)  e.  RR )
3129, 26, 30syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  ( F1 `  x )  e.  RR )
3228, 31ltnled 8982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  ( ( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x
)  <->  -.  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x ) ) )
3332bicomd 192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  /\  x  e.  a
)  ->  ( -.  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  ( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x
) ) )
3433ralbidva 2572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J 
fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  ->  ( A. x  e.  a  -.  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  A. x  e.  a 
( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x ) ) )
3522, 34syl5bbr 250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( J 
fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  /\  a  e.  F )  ->  ( -.  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  A. x  e.  a 
( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x ) ) )
3635rexbidva 2573 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( E. a  e.  F  -.  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  E. a  e.  F  A. x  e.  a 
( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x ) ) )
3721, 36syl5bbr 250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( -.  A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  <->  E. a  e.  F  A. x  e.  a 
( F 2 `  x )  <  ( F1 `  x ) ) )
389, 20, 373imtr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( -.  L1  <_  L 2  ->  -.  A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x ) ) )
3938con4d 97 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  ( F  e.  ( Fil `  Y
)  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y
--> RR ) )  -> 
( A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x
)  <_  ( F 2 `  x )  -> 
L1  <_  L 2 )
)
40393exp 1150 . . . 4  |-  ( ( ( J  fLimf  F ) `
 F1 )  =/=  (/)  ->  (
( ( J  fLimf  F ) `  F 2
)  =/=  (/)  ->  (
( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  ->  ( A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  ->  L1  <_  L 2
) ) ) )
4140com34 77 . . 3  |-  ( ( ( J  fLimf  F ) `
 F1 )  =/=  (/)  ->  (
( ( J  fLimf  F ) `  F 2
)  =/=  (/)  ->  ( A. a  e.  F  E. x  e.  a 
( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x )  ->  (
( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  ->  L1  <_  L 2
) ) ) )
42413imp 1145 . 2  |-  ( ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  ( ( J  fLimf  F ) `  F 2 )  =/=  (/)  /\  A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x
)  <_  ( F 2 `  x )
)  ->  ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y
--> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  ->  L1 
<_  L 2 ) )
4342impcom 419 1  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  Y )  /\  F1 : Y --> RR  /\  F 2 : Y --> RR )  /\  ( ( ( J  fLimf  F ) `  F1 )  =/=  (/)  /\  (
( J  fLimf  F ) `
 F 2 )  =/=  (/)  /\  A. a  e.  F  E. x  e.  a  ( F1 `  x )  <_  ( F 2 `  x ) ) )  ->  L1  <_  L 2 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   U.cuni 3843   class class class wbr 4039   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752    < clt 8883    <_ cle 8884   (,)cioo 10672   topGenctg 13358   Filcfil 17556    fLimf cflf 17646
This theorem is referenced by:  lvsovso3  25731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-ntr 16773  df-nei 16851  df-haus 17059  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651
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