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Theorem lzenom 26828
Description: Lower integers are countably infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lzenom  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  om )

Proof of Theorem lzenom
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10291 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
2 difexg 4351 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V )
31, 2mp1i 12 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V )
4 nnex 10006 . . . 4  |-  NN  e.  _V
54a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  NN  e.  _V )
6 ovex 6106 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  -  a )  e. 
_V
76a1ii 25 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  a )  e.  _V ) )
8 ovex 6106 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  -  b )  e. 
_V
98a1ii 25 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
b  e.  NN  ->  ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  _V ) )
10 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
1110peano2zd 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
12 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  e.  ZZ )
1311, 12zsubcld 10380 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ )
14 zre 10286 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
1514ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  e.  RR )
1611zred 10375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
17 1re 9090 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  1  e.  RR )
19 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  <_  N )
20 zcn 10287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2120adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  N  e.  CC )
22 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
23 pncan 9311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
2421, 22, 23sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
2519, 24breqtrrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  <_  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
2615, 16, 18, 25lesubd 9630 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) )
2711zcnd 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
28 zcn 10287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
2928ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  e.  CC )
3027, 29nncand 9416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  =  a )
3130eqcomd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  a ) ) )
3213, 26, 31jca31 521 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  a
)  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
3332adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  + 
1 )  -  a
) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  a
) ) ) )
34 eleq1 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
b  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ ) )
35 breq2 4216 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
1  <_  b  <->  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )
3634, 35anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  <->  ( ( ( N  + 
1 )  -  a
)  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
37 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
( N  +  1 )  -  b )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  a
) ) )
3837eqeq2d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  <->  a  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
3936, 38anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  <->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  a
)  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) ) )
4039ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )  ->  ( ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  <-> 
( ( ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ  /\  1  <_ 
( ( N  + 
1 )  -  a
) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  a
) ) ) ) )
4133, 40mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )  ->  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )
42 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  N  e.  ZZ )
4342peano2zd 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
44 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  e.  ZZ )
4543, 44zsubcld 10380 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ )
4643zred 10375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
47 zre 10286 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4847adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  N  e.  RR )
49 zre 10286 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  RR )
5049ad2antrl 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  e.  RR )
5148recnd 9114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  N  e.  CC )
52 pncan2 9312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  N
)  =  1 )
5351, 22, 52sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  N )  =  1 )
54 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  1  <_  b )
5553, 54eqbrtrd 4232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  N )  <_ 
b )
5646, 48, 50, 55subled 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  b )  <_  N )
5743zcnd 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
58 zcn 10287 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  CC )
5958ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  e.  CC )
6057, 59nncand 9416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  =  b )
6160eqcomd 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  b ) ) )
6245, 56, 61jca31 521 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  b
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  -  b
)  <_  N )  /\  b  =  (
( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
6362adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ  /\  (
( N  +  1 )  -  b )  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
64 eleq1 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
a  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ ) )
65 breq1 4215 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
a  <_  N  <->  ( ( N  +  1 )  -  b )  <_  N ) )
6664, 65anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  <->  ( ( ( N  + 
1 )  -  b
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  -  b
)  <_  N )
) )
67 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
( N  +  1 )  -  a )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  b
) ) )
6867eqeq2d 2447 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  <->  b  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
6966, 68anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  b
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  -  b
)  <_  N )  /\  b  =  (
( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) ) )
7069ad2antll 710 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )  ->  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <-> 
( ( ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ  /\  ( ( N  +  1 )  -  b )  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  b
) ) ) ) )
7163, 70mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )  ->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )
7241, 71impbida 806 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <->  ( (
b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
73 ellz1 26825 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N ) ) )
7473anbi1d 686 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <-> 
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
75 elnnz1 10307 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b ) )
7675a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b ) ) )
7776anbi1d 686 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( b  e.  NN  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  <-> 
( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
7872, 74, 773bitr4d 277 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <-> 
( b  e.  NN  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
793, 5, 7, 9, 78en2d 7143 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  NN )
80 nnenom 11319 . 2  |-  NN  ~~  om
81 entr 7159 . 2  |-  ( ( ( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) 
~~  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  om )
8279, 80, 81sylancl 644 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2956    \ cdif 3317   class class class wbr 4212   omcom 4845   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    ~~ cen 7106   CCcc 8988   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993    <_ cle 9121    - cmin 9291   NNcn 10000   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488
This theorem is referenced by:  diophin  26831  diophren  26874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489
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