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Theorem lzenom 26952
Description: Lower integers are countably infinite. (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lzenom  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  om )

Proof of Theorem lzenom
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 10049 . . . 4  |-  ZZ  e.  _V
2 difexg 4178 . . . 4  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V )
31, 2mp1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  e.  _V )
4 nnex 9768 . . . 4  |-  NN  e.  _V
54a1i 10 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  NN  e.  _V )
6 ovex 5899 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  -  a )  e. 
_V
76a1ii 24 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  a )  e.  _V ) )
8 ovex 5899 . . . 4  |-  ( ( N  +  1 )  -  b )  e. 
_V
98a1ii 24 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
b  e.  NN  ->  ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  _V ) )
10 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  N  e.  ZZ )
1110peano2zd 10136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
12 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  e.  ZZ )
1311, 12zsubcld 10138 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ )
14 zre 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
1514ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  e.  RR )
1611zred 10133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
17 1re 8853 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
1817a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  1  e.  RR )
19 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  <_  N )
20 zcn 10045 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2120adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  N  e.  CC )
22 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
23 pncan 9073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  1 )  =  N )
2421, 22, 23sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
2519, 24breqtrrd 4065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  <_  ( ( N  +  1 )  -  1 ) )
2615, 16, 18, 25lesubd 9392 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) )
2711zcnd 10134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
28 zcn 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
2928ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  e.  CC )
3027, 29nncand 9178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  =  a )
3130eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  a  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  a ) ) )
3213, 26, 31jca31 520 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  a
)  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
3332adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  + 
1 )  -  a
) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  a
) ) ) )
34 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
b  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ ) )
35 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
1  <_  b  <->  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )
3634, 35anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  <->  ( ( ( N  + 
1 )  -  a
)  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
37 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
( N  +  1 )  -  b )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  a
) ) )
3837eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  <->  a  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
3936, 38anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  ->  (
( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  <->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  a
)  e.  ZZ  /\  1  <_  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) ) )
4039ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )  ->  ( ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  <-> 
( ( ( ( N  +  1 )  -  a )  e.  ZZ  /\  1  <_ 
( ( N  + 
1 )  -  a
) )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  a
) ) ) ) )
4133, 40mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )  ->  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )
42 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  N  e.  ZZ )
4342peano2zd 10136 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
44 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  e.  ZZ )
4543, 44zsubcld 10138 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ )
4643zred 10133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
47 zre 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
4847adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  N  e.  RR )
49 zre 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  RR )
5049ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  e.  RR )
5148recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  N  e.  CC )
52 pncan2 9074 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  + 
1 )  -  N
)  =  1 )
5351, 22, 52sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  N )  =  1 )
54 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  1  <_  b )
5553, 54eqbrtrd 4059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  N )  <_ 
b )
5646, 48, 50, 55subled 9391 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  b )  <_  N )
5743zcnd 10134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
58 zcn 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  CC )
5958ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  e.  CC )
6057, 59nncand 9178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  =  b )
6160eqcomd 2301 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  b  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  b ) ) )
6245, 56, 61jca31 520 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )
)  ->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  b
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  -  b
)  <_  N )  /\  b  =  (
( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
6362adantrr 697 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )  ->  ( ( ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ  /\  (
( N  +  1 )  -  b )  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
64 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
a  e.  ZZ  <->  ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ ) )
65 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
a  <_  N  <->  ( ( N  +  1 )  -  b )  <_  N ) )
6664, 65anbi12d 691 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  <->  ( ( ( N  + 
1 )  -  b
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  -  b
)  <_  N )
) )
67 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
( N  +  1 )  -  a )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  b
) ) )
6867eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
b  =  ( ( N  +  1 )  -  a )  <->  b  =  ( ( N  + 
1 )  -  (
( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
6966, 68anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( N  +  1 )  -  b )  ->  (
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <->  ( (
( ( N  + 
1 )  -  b
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  -  b
)  <_  N )  /\  b  =  (
( N  +  1 )  -  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) ) )
7069ad2antll 709 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )  ->  ( ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <-> 
( ( ( ( N  +  1 )  -  b )  e.  ZZ  /\  ( ( N  +  1 )  -  b )  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  ( ( N  + 
1 )  -  b
) ) ) ) )
7163, 70mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) )  ->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) )
7241, 71impbida 805 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <->  ( (
b  e.  ZZ  /\  1  <_  b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
73 ellz1 26949 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N ) ) )
7473anbi1d 685 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <-> 
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  N )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) ) ) )
75 elnnz1 10065 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b ) )
7675a1i 10 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
b  e.  NN  <->  ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b ) ) )
7776anbi1d 685 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( b  e.  NN  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) )  <-> 
( ( b  e.  ZZ  /\  1  <_ 
b )  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
7872, 74, 773bitr4d 276 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1
) ) )  /\  b  =  ( ( N  +  1 )  -  a ) )  <-> 
( b  e.  NN  /\  a  =  ( ( N  +  1 )  -  b ) ) ) )
793, 5, 7, 9, 78en2d 6913 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  NN )
80 nnenom 11058 . 2  |-  NN  ~~  om
81 entr 6929 . 2  |-  ( ( ( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( N  + 
1 ) ) ) 
~~  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  om )
8279, 80, 81sylancl 643 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( N  +  1 ) ) )  ~~  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   class class class wbr 4039   omcom 4672   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ~~ cen 6876   CCcc 8751   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  diophin  26955  diophren  26999
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247
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