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Theorem lzunuz 26950
Description: A set of lower integers and upper integers which abut or overlap is all of the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lzunuz  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( A  + 
1 ) ) )  u.  ( ZZ>= `  B
) )  =  ZZ )

Proof of Theorem lzunuz
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3329 . . 3  |-  ( a  e.  ( ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) )  u.  ( ZZ>=
`  B ) )  <-> 
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  \/  a  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
2 ellz1 26949 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A ) ) )
323ad2ant1 976 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A ) ) )
4 eluz1 10250 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ>= `  B )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  B  <_ 
a ) ) )
543ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ( ZZ>= `  B )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  B  <_ 
a ) ) )
63, 5orbi12d 690 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  \/  a  e.  ( ZZ>= `  B ) )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  A )  \/  ( a  e.  ZZ  /\  B  <_  a )
) ) )
7 zre 10044 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
87adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  RR )
9 simpl1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
109zred 10133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
11 lelttric 8943 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( a  <_  A  \/  A  <  a ) )
128, 10, 11syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  <_  A  \/  A  <  a ) )
13 simpll2 995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  e.  ZZ )
1413zred 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  e.  RR )
15 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  A  e.  ZZ )
1615peano2zd 10136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )
1716zred 10133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
187ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  a  e.  RR )
19 simpll3 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  <_  ( A  +  1 ) )
20 zltp1le 10083 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A  <  a  <->  ( A  +  1 )  <_  a ) )
21203ad2antl1 1117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A  <  a  <->  ( A  +  1 )  <_  a ) )
2221biimpa 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  ( A  +  1 )  <_  a )
2314, 17, 18, 19, 22letrd 8989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  <_  a )
2423ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A  <  a  ->  B  <_  a )
)
2524orim2d 813 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  <_  A  \/  A  <  a )  ->  ( a  <_  A  \/  B  <_ 
a ) ) )
2612, 25mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) )
2726ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ZZ  ->  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) ) )
2827pm4.71d 615 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ZZ  <->  ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) ) ) )
29 andi 837 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) )  <->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A )  \/  (
a  e.  ZZ  /\  B  <_  a ) ) )
3028, 29syl6rbb 253 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A )  \/  (
a  e.  ZZ  /\  B  <_  a ) )  <-> 
a  e.  ZZ ) )
316, 30bitrd 244 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  \/  a  e.  ( ZZ>= `  B ) )  <->  a  e.  ZZ ) )
321, 31syl5bb 248 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ( ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  u.  ( ZZ>= `  B )
)  <->  a  e.  ZZ ) )
3332eqrdv 2294 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( A  + 
1 ) ) )  u.  ( ZZ>= `  B
) )  =  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    \ cdif 3162    u. cun 3163   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756    < clt 8883    <_ cle 8884   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246
This theorem is referenced by:  diophin  26955
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247
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