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Theorem lzunuz 26510
Description: A set of lower integers and upper integers which abut or overlap is all of the integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
lzunuz  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( A  + 
1 ) ) )  u.  ( ZZ>= `  B
) )  =  ZZ )

Proof of Theorem lzunuz
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elun 3424 . . 3  |-  ( a  e.  ( ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) )  u.  ( ZZ>=
`  B ) )  <-> 
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  \/  a  e.  ( ZZ>= `  B ) ) )
2 ellz1 26509 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A ) ) )
323ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ( ZZ 
\  ( ZZ>= `  ( A  +  1 ) ) )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A ) ) )
4 eluz1 10417 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
a  e.  ( ZZ>= `  B )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  B  <_ 
a ) ) )
543ad2ant2 979 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ( ZZ>= `  B )  <->  ( a  e.  ZZ  /\  B  <_ 
a ) ) )
63, 5orbi12d 691 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  \/  a  e.  ( ZZ>= `  B ) )  <->  ( (
a  e.  ZZ  /\  a  <_  A )  \/  ( a  e.  ZZ  /\  B  <_  a )
) ) )
7 zre 10211 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  RR )
87adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  RR )
9 simpl1 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
109zred 10300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
11 lelttric 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( a  <_  A  \/  A  <  a ) )
128, 10, 11syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  <_  A  \/  A  <  a ) )
13 simpll2 997 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  e.  ZZ )
1413zred 10300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  e.  RR )
15 simpll1 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  A  e.  ZZ )
1615peano2zd 10303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )
1716zred 10300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  ( A  +  1 )  e.  RR )
187ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  a  e.  RR )
19 simpll3 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  <_  ( A  +  1 ) )
20 zltp1le 10250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A  <  a  <->  ( A  +  1 )  <_  a ) )
21203ad2antl1 1119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A  <  a  <->  ( A  +  1 )  <_  a ) )
2221biimpa 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  ( A  +  1 )  <_  a )
2314, 17, 18, 19, 22letrd 9152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_ 
( A  +  1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  /\  A  <  a )  ->  B  <_  a )
2423ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A  <  a  ->  B  <_  a )
)
2524orim2d 814 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( a  <_  A  \/  A  <  a )  ->  ( a  <_  A  \/  B  <_ 
a ) ) )
2612, 25mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  + 
1 ) )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) )
2726ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ZZ  ->  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) ) )
2827pm4.71d 616 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ZZ  <->  ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) ) ) )
29 andi 838 . . . . 5  |-  ( ( a  e.  ZZ  /\  ( a  <_  A  \/  B  <_  a ) )  <->  ( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A )  \/  (
a  e.  ZZ  /\  B  <_  a ) ) )
3028, 29syl6rbb 254 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( ( a  e.  ZZ  /\  a  <_  A )  \/  (
a  e.  ZZ  /\  B  <_  a ) )  <-> 
a  e.  ZZ ) )
316, 30bitrd 245 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( a  e.  ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  \/  a  e.  ( ZZ>= `  B ) )  <->  a  e.  ZZ ) )
321, 31syl5bb 249 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
a  e.  ( ( ZZ  \  ( ZZ>= `  ( A  +  1
) ) )  u.  ( ZZ>= `  B )
)  <->  a  e.  ZZ ) )
3332eqrdv 2378 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  B  <_  ( A  +  1 ) )  ->  (
( ZZ  \  ( ZZ>=
`  ( A  + 
1 ) ) )  u.  ( ZZ>= `  B
) )  =  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    \ cdif 3253    u. cun 3254   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   RRcr 8915   1c1 8917    + caddc 8919    < clt 9046    <_ cle 9047   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413
This theorem is referenced by:  diophin  26515
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414
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