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Theorem mamuass 27563
Description: Matrix multiplication is associative. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamuass.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamuass.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamuass.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuass.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
mamuass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
mamuass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
mamuass.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamuass.g  |-  G  =  ( R maMul  <. M ,  O ,  P >. )
mamuass.h  |-  H  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
mamuass.i  |-  I  =  ( R maMul  <. N ,  O ,  P >. )
Assertion
Ref Expression
mamuass  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) ) )

Proof of Theorem mamuass
Dummy variables  i 
j  k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
3 rngcmn 15387 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e. CMnd )
6 mamuass.o . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  O  e.  Fin )
8 mamuass.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  N  e.  Fin )
102ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  ->  R  e.  Ring )
11 mamuass.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
12 elmapi 6808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1413ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
15 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  i  e.  M )
16 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  l  e.  N )
17 fovrn 6006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X : ( M  X.  N ) --> B  /\  i  e.  M  /\  l  e.  N
)  ->  ( i X l )  e.  B )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
i X l )  e.  B )
1918adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( i X l )  e.  B )
20 mamuass.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
21 elmapi 6808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2322ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
24 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
l  e.  N )
25 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
j  e.  O )
26 fovrn 6006 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y : ( N  X.  O ) --> B  /\  l  e.  N  /\  j  e.  O
)  ->  ( l Y j )  e.  B )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( l Y j )  e.  B )
28 mamuass.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
29 elmapi 6808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P
) )  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
3130ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
32 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  j  e.  O )
33 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  k  e.  P )
34 fovrn 6006 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z : ( O  X.  P ) --> B  /\  j  e.  O  /\  k  e.  P
)  ->  ( j Z k )  e.  B )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
j Z k )  e.  B )
3635adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( j Z k )  e.  B )
37 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
381, 37rngcl 15370 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
l Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
3910, 27, 36, 38syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
401, 37rngcl 15370 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X l )  e.  B  /\  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  e.  B )
4110, 19, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  e.  B )
421, 5, 7, 9, 41gsumcom3fi 27558 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
43 mamuass.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
442ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  R  e.  Ring )
45 mamuass.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  M  e.  Fin )
478ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  N  e.  Fin )
486ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  O  e.  Fin )
4911ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
5020ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
51 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  i  e.  M )
5243, 1, 37, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 32mamufv 27548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
i ( X F Y ) j )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) ) ) )
5352oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
( i ( X F Y ) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
54 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
55 eqid 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
561, 37rngcl 15370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X l )  e.  B  /\  (
l Y j )  e.  B )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
5710, 19, 27, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
5857anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
59 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) )
6058, 59fmptd 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ) : N --> B )
6147, 60fisuppfi 14466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( `' ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin )
621, 54, 55, 37, 44, 47, 35, 58, 61gsummulc1 15406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
631, 37rngass 15373 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X l )  e.  B  /\  ( l Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6410, 19, 27, 36, 63syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6564anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
6665mpteq2dva 4122 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6766oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
6853, 62, 673eqtr2d 2334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
( i ( X F Y ) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
6968mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )
7069oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
71 mamuass.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( R maMul  <. N ,  O ,  P >. )
722ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
738ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
746ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  O  e.  Fin )
75 mamuass.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
7675ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  P  e.  Fin )
7720ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7828ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
79 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  k  e.  P )
8071, 1, 37, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 16, 79mamufv 27548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
l ( Y I Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
8180oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l ( Y I Z ) k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8239anass1rs 782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  l  e.  N )  /\  j  e.  O )  ->  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
83 eqid 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
8482, 83fmptd 5700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) : O --> B )
8574, 84fisuppfi 14466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  ( `' ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin )
861, 54, 55, 37, 72, 74, 18, 82, 85gsummulc2 15407 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8781, 86eqtr4d 2331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l ( Y I Z ) k ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8887mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )
8988oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
9042, 70, 893eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) )
91 mamuass.g . . . . 5  |-  G  =  ( R maMul  <. M ,  O ,  P >. )
922adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e.  Ring )
9345adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  M  e.  Fin )
9475adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  P  e.  Fin )
951, 2, 43, 45, 8, 6, 11, 20mamucl 27559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
9695adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
9728adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P
) ) )
98 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
i  e.  M )
99 simprr 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
k  e.  P )
10091, 1, 37, 92, 93, 7, 94, 96, 97, 98, 99mamufv 27548 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
101 mamuass.h . . . . 5  |-  H  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
10211adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
1031, 2, 71, 8, 6, 75, 20, 28mamucl 27559 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y I Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
104103adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( Y I Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
105101, 1, 37, 92, 93, 9, 94, 102, 104, 98, 99mamufv 27548 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( X H ( Y I Z ) ) k )  =  ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) )
10690, 100, 1053eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) )
107106ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) )
1081, 2, 91, 45, 6, 75, 95, 28mamucl 27559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
109 elmapi 6808 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y ) G Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) )  ->  (
( X F Y ) G Z ) : ( M  X.  P ) --> B )
110 ffn 5405 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y ) G Z ) : ( M  X.  P ) --> B  -> 
( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P ) )
111108, 109, 1103syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P ) )
1121, 2, 101, 45, 8, 75, 11, 103mamucl 27559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X H ( Y I Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
113 elmapi 6808 . . . 4  |-  ( ( X H ( Y I Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) )  ->  ( X H ( Y I Z ) ) : ( M  X.  P
) --> B )
114 ffn 5405 . . . 4  |-  ( ( X H ( Y I Z ) ) : ( M  X.  P ) --> B  -> 
( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )
115112, 113, 1143syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )
116 eqfnov2 5967 . . 3  |-  ( ( ( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P )  /\  ( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )  -> 
( ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) )
117111, 115, 116syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) )
118107, 117mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653   <.cotp 3657    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417  CMndccmn 15105   Ringcrg 15353   maMul cmmul 27542
This theorem is referenced by:  matrng  27583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-mulg 14508  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-mamu 27544
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