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Theorem mamuass 27460
Description: Matrix multiplication is associative. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamuass.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamuass.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamuass.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuass.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
mamuass.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuass.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
mamuass.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
mamuass.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamuass.g  |-  G  =  ( R maMul  <. M ,  O ,  P >. )
mamuass.h  |-  H  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
mamuass.i  |-  I  =  ( R maMul  <. N ,  O ,  P >. )
Assertion
Ref Expression
mamuass  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) ) )

Proof of Theorem mamuass
Dummy variables  i 
j  k  l are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
3 rngcmn 15371 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e. CMnd )
6 mamuass.o . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  O  e.  Fin )
8 mamuass.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  N  e.  Fin )
102ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  ->  R  e.  Ring )
11 mamuass.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
12 elmapi 6792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1413ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
15 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  i  e.  M )
16 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  l  e.  N )
17 fovrn 5990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X : ( M  X.  N ) --> B  /\  i  e.  M  /\  l  e.  N
)  ->  ( i X l )  e.  B )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
i X l )  e.  B )
1918adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( i X l )  e.  B )
20 mamuass.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
21 elmapi 6792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2322ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
24 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
l  e.  N )
25 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
j  e.  O )
26 fovrn 5990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y : ( N  X.  O ) --> B  /\  l  e.  N  /\  j  e.  O
)  ->  ( l Y j )  e.  B )
2723, 24, 25, 26syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( l Y j )  e.  B )
28 mamuass.z . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
29 elmapi 6792 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P
) )  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
3130ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  Z : ( O  X.  P ) --> B )
32 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  j  e.  O )
33 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  k  e.  P )
34 fovrn 5990 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Z : ( O  X.  P ) --> B  /\  j  e.  O  /\  k  e.  P
)  ->  ( j Z k )  e.  B )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
j Z k )  e.  B )
3635adantrr 697 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( j Z k )  e.  B )
37 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
381, 37rngcl 15354 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
l Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
3910, 27, 36, 38syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
401, 37rngcl 15354 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X l )  e.  B  /\  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  e.  B )
4110, 19, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  e.  B )
421, 5, 7, 9, 41gsumcom3fi 27455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
43 mamuass.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
442ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  R  e.  Ring )
45 mamuass.m . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  M  e.  Fin )
478ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  N  e.  Fin )
486ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  O  e.  Fin )
4911ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
5020ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
51 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  i  e.  M )
5243, 1, 37, 44, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 32mamufv 27445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
i ( X F Y ) j )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) ) ) )
5352oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
( i ( X F Y ) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
54 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
55 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
561, 37rngcl 15354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X l )  e.  B  /\  (
l Y j )  e.  B )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
5710, 19, 27, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
5857anassrs 629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) )  e.  B )
59 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) )
6058, 59fmptd 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ) : N --> B )
6147, 60fisuppfi 14450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( `' ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin )
621, 54, 55, 37, 44, 47, 35, 58, 61gsummulc1 15390 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( l Y j ) ) ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
631, 37rngass 15357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X l )  e.  B  /\  ( l Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6410, 19, 27, 36, 63syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  ( j  e.  O  /\  l  e.  N ) )  -> 
( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6564anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  j  e.  O )  /\  l  e.  N )  ->  (
( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
6665mpteq2dva 4106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6766oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( l Y j ) ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
6853, 62, 673eqtr2d 2321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  O )  ->  (
( i ( X F Y ) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
6968mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )
7069oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
71 mamuass.i . . . . . . . . . 10  |-  I  =  ( R maMul  <. N ,  O ,  P >. )
722ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
738ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  N  e.  Fin )
746ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  O  e.  Fin )
75 mamuass.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
7675ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  P  e.  Fin )
7720ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
7828ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P ) ) )
79 simplrr 737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  k  e.  P )
8071, 1, 37, 72, 73, 74, 76, 77, 78, 16, 79mamufv 27445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
l ( Y I Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
8180oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l ( Y I Z ) k ) )  =  ( ( i X l ) ( .r `  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8239anass1rs 782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P
) )  /\  l  e.  N )  /\  j  e.  O )  ->  (
( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
83 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
8482, 83fmptd 5684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) : O --> B )
8574, 84fisuppfi 14450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  ( `' ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) "
( _V  \  {
( 0g `  R
) } ) )  e.  Fin )
861, 54, 55, 37, 72, 74, 18, 82, 85gsummulc2 15391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( l Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8781, 86eqtr4d 2318 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  l  e.  N )  ->  (
( i X l ) ( .r `  R ) ( l ( Y I Z ) k ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r `  R
) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8887mpteq2dva 4106 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) )  =  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) )
8988oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( ( l Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) ) ) )
9042, 70, 893eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) )
91 mamuass.g . . . . 5  |-  G  =  ( R maMul  <. M ,  O ,  P >. )
922adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e.  Ring )
9345adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  M  e.  Fin )
9475adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  P  e.  Fin )
951, 2, 43, 45, 8, 6, 11, 20mamucl 27456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
9695adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
9728adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( O  X.  P
) ) )
98 simprl 732 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
i  e.  M )
99 simprr 733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
k  e.  P )
10091, 1, 37, 92, 93, 7, 94, 96, 97, 98, 99mamufv 27445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  O  |->  ( ( i ( X F Y ) j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
101 mamuass.h . . . . 5  |-  H  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
10211adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
1031, 2, 71, 8, 6, 75, 20, 28mamucl 27456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y I Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
104103adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( Y I Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
105101, 1, 37, 92, 93, 9, 94, 102, 104, 98, 99mamufv 27445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( X H ( Y I Z ) ) k )  =  ( R 
gsumg  ( l  e.  N  |->  ( ( i X l ) ( .r
`  R ) ( l ( Y I Z ) k ) ) ) ) )
10690, 100, 1053eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) )
107106ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) )
1081, 2, 91, 45, 6, 75, 95, 28mamucl 27456 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
109 elmapi 6792 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y ) G Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) )  ->  (
( X F Y ) G Z ) : ( M  X.  P ) --> B )
110 ffn 5389 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y ) G Z ) : ( M  X.  P ) --> B  -> 
( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P ) )
111108, 109, 1103syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P ) )
1121, 2, 101, 45, 8, 75, 11, 103mamucl 27456 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X H ( Y I Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
113 elmapi 6792 . . . 4  |-  ( ( X H ( Y I Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) )  ->  ( X H ( Y I Z ) ) : ( M  X.  P
) --> B )
114 ffn 5389 . . . 4  |-  ( ( X H ( Y I Z ) ) : ( M  X.  P ) --> B  -> 
( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )
115112, 113, 1143syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )
116 eqfnov2 5951 . . 3  |-  ( ( ( ( X F Y ) G Z )  Fn  ( M  X.  P )  /\  ( X H ( Y I Z ) )  Fn  ( M  X.  P ) )  -> 
( ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) )
117111, 115, 116syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( i ( ( X F Y ) G Z ) k )  =  ( i ( X H ( Y I Z ) ) k ) ) )
118107, 117mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y ) G Z )  =  ( X H ( Y I Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640   <.cotp 3644    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401  CMndccmn 15089   Ringcrg 15337   maMul cmmul 27439
This theorem is referenced by:  matrng  27480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-mulg 14492  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-mamu 27441
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