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Theorem mamucl 27433
Description: Operation closure of matrix multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamucl.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
mamucl.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamucl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamucl.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
mamucl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamucl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamucl  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )

Proof of Theorem mamucl
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.f . . 3  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
2 mamucl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2436 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mamucl.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mamucl.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
6 mamucl.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mamucl.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
8 mamucl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
9 mamucl.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mamuval 27421 . 2  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  =  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) ) )
11 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
12 rngcmn 15694 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
134, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
1413adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e. CMnd )
156adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  N  e.  Fin )
164ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
17 elmapi 7038 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
188, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1918ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
20 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
21 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
2219, 20, 21fovrnd 6218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
23 elmapi 7038 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P
) )  ->  Y : ( N  X.  P ) --> B )
249, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  P ) --> B )
2524ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( N  X.  P ) --> B )
26 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  P )
2725, 21, 26fovrnd 6218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Y k )  e.  B )
282, 3rngcl 15677 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Y k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
2916, 22, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
30 eqid 2436 . . . . . 6  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )
3129, 30fmptd 5893 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) : N --> B )
3215, 31fisuppfi 14773 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
332, 11, 14, 15, 31, 32gsumcl 15521 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  e.  B )
3433ralrimivva 2798 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  e.  B )
35 fvex 5742 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
362, 35eqeltri 2506 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
37 xpfi 7378 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( M  X.  P
)  e.  Fin )
385, 7, 37syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  X.  P
)  e.  Fin )
39 elmapg 7031 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  P
)  e.  Fin )  ->  ( ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) )  <-> 
( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) ) : ( M  X.  P ) --> B ) )
4036, 38, 39sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) )  <-> 
( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) ) : ( M  X.  P ) --> B ) )
41 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) )  =  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )
4241fmpt2 6418 . . . 4  |-  ( A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  e.  B  <->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) ) : ( M  X.  P ) --> B )
4340, 42syl6rbbr 256 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) )  e.  B  <->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) ) )
4434, 43mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) ) )
4510, 44eqeltrd 2510 1  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    \ cdif 3317   {csn 3814   <.cotp 3818    e. cmpt 4266    X. cxp 4876   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083    ^m cmap 7018   Fincfn 7109   Basecbs 13469   .rcmulr 13530   0gc0g 13723    gsumg cgsu 13724  CMndccmn 15412   Ringcrg 15660   maMul cmmul 27416
This theorem is referenced by:  mamulid  27435  mamurid  27436  mamuass  27437  mamudi  27438  mamudir  27439  mamuvs1  27440  mamuvs2  27441  matrng  27457  matassa  27458
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-ot 3824  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-oi 7479  df-card 7826  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-seq 11324  df-hash 11619  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-plusg 13542  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-mnd 14690  df-grp 14812  df-minusg 14813  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-abl 15415  df-mgp 15649  df-rng 15663  df-ur 15665  df-mamu 27418
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