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Theorem mamucl 27324
Description: Operation closure of matrix multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamucl.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
mamucl.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamucl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamucl.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
mamucl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamucl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamucl  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )

Proof of Theorem mamucl
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.f . . 3  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
2 mamucl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2404 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mamucl.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mamucl.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
6 mamucl.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mamucl.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
8 mamucl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
9 mamucl.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mamuval 27312 . 2  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  =  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) ) )
11 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
12 rngcmn 15649 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
134, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
1413adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e. CMnd )
156adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  N  e.  Fin )
164ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
17 elmapi 6997 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
188, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1918ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
20 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
21 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
2219, 20, 21fovrnd 6177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
23 elmapi 6997 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P
) )  ->  Y : ( N  X.  P ) --> B )
249, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  P ) --> B )
2524ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( N  X.  P ) --> B )
26 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  P )
2725, 21, 26fovrnd 6177 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Y k )  e.  B )
282, 3rngcl 15632 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Y k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
2916, 22, 27, 28syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
30 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )
3129, 30fmptd 5852 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) : N --> B )
3215, 31fisuppfi 14728 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
332, 11, 14, 15, 31, 32gsumcl 15476 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  e.  B )
3433ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  e.  B )
35 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
362, 35eqeltri 2474 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
37 xpfi 7337 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( M  X.  P
)  e.  Fin )
385, 7, 37syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  X.  P
)  e.  Fin )
39 elmapg 6990 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  P
)  e.  Fin )  ->  ( ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) )  <-> 
( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) ) : ( M  X.  P ) --> B ) )
4036, 38, 39sylancr 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) )  <-> 
( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) ) : ( M  X.  P ) --> B ) )
41 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) )  =  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )
4241fmpt2 6377 . . . 4  |-  ( A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  e.  B  <->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) ) : ( M  X.  P ) --> B )
4340, 42syl6rbbr 256 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) )  e.  B  <->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) ) )
4434, 43mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) ) )
4510, 44eqeltrd 2478 1  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    \ cdif 3277   {csn 3774   <.cotp 3778    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   Basecbs 13424   .rcmulr 13485   0gc0g 13678    gsumg cgsu 13679  CMndccmn 15367   Ringcrg 15615   maMul cmmul 27307
This theorem is referenced by:  mamulid  27326  mamurid  27327  mamuass  27328  mamudi  27329  mamudir  27330  mamuvs1  27331  mamuvs2  27332  matrng  27348  matassa  27349
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-ot 3784  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-hash 11574  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-mamu 27309
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