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Theorem mamucl 27456
Description: Operation closure of matrix multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamucl.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
mamucl.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamucl.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamucl.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
mamucl.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamucl.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamucl  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )

Proof of Theorem mamucl
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.f . . 3  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  P >. )
2 mamucl.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 eqid 2283 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mamucl.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 mamucl.m . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
6 mamucl.n . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
7 mamucl.p . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Fin )
8 mamucl.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
9 mamucl.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mamuval 27444 . 2  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  =  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) ) )
11 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
12 rngcmn 15371 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
134, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
1413adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  R  e. CMnd )
156adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  ->  N  e.  Fin )
164ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
17 elmapi 6792 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
188, 17syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1918ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
20 simplrl 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
21 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
22 fovrn 5990 . . . . . . . 8  |-  ( ( X : ( M  X.  N ) --> B  /\  i  e.  M  /\  j  e.  N
)  ->  ( i X j )  e.  B )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
24 elmapi 6792 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  P
) )  ->  Y : ( N  X.  P ) --> B )
259, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  P ) --> B )
2625ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( N  X.  P ) --> B )
27 simplrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  P )
28 fovrn 5990 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y : ( N  X.  P ) --> B  /\  j  e.  N  /\  k  e.  P
)  ->  ( j Y k )  e.  B )
2926, 21, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Y k )  e.  B )
302, 3rngcl 15354 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Y k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
3116, 23, 29, 30syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  P )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
32 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )
3331, 32fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) : N --> B )
3415, 33fisuppfi 14450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
352, 11, 14, 15, 33, 34gsumcl 15198 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  P ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  e.  B )
3635ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  e.  B )
37 fvex 5539 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  e.  _V
382, 37eqeltri 2353 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
39 xpfi 7128 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  P  e.  Fin )  ->  ( M  X.  P
)  e.  Fin )
405, 7, 39syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  X.  P
)  e.  Fin )
41 elmapg 6785 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  P
)  e.  Fin )  ->  ( ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) )  <-> 
( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) ) : ( M  X.  P ) --> B ) )
4238, 40, 41sylancr 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) )  <-> 
( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) ) : ( M  X.  P ) --> B ) )
43 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) )  =  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )
4443fmpt2 6191 . . . 4  |-  ( A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  e.  B  <->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) ) : ( M  X.  P ) --> B )
4542, 44syl6rbbr 255 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. i  e.  M  A. k  e.  P  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) )  e.  B  <->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) ) )
4636, 45mpbid 201 . 2  |-  ( ph  ->  ( i  e.  M ,  k  e.  P  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P
) ) )
4710, 46eqeltrd 2357 1  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  P ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640   <.cotp 3644    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   Basecbs 13148   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401  CMndccmn 15089   Ringcrg 15337   maMul cmmul 27439
This theorem is referenced by:  mamulid  27458  mamurid  27459  mamuass  27460  mamudi  27461  mamudir  27462  mamuvs1  27463  mamuvs2  27464  matrng  27480  matassa  27481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-mamu 27441
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