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Theorem mamudi 27452
Description: Matrix multiplication distributes over addition on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamudi.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mamudi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudi.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamudi  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) )

Proof of Theorem mamudi
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 mamudi.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 rngcmn 15699 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
76adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e. CMnd )
8 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
98adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
104ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
11 mamudi.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
12 elmapi 7041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1413ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
15 simplrl 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
16 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
1714, 15, 16fovrnd 6221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
18 mamudi.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
19 elmapi 7041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2120ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
22 simplrr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
2321, 16, 22fovrnd 6221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
24 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
251, 24rngcl 15682 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
2610, 17, 23, 25syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
27 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
2826, 27fmptd 5896 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) : N --> B )
29 mamudi.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
30 elmapi 7041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
3231ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
3332, 15, 16fovrnd 6221 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i Y j )  e.  B )
341, 24rngcl 15682 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
3510, 33, 23, 34syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
36 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
3735, 36fmptd 5896 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) : N --> B )
389, 28fisuppfi 14778 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
399, 37fisuppfi 14778 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
401, 2, 3, 7, 9, 28, 37, 38, 39gsumadd 15533 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
4111ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
42 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : ( M  X.  N ) --> B  ->  X  Fn  ( M  X.  N ) )
4341, 12, 423syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  Fn  ( M  X.  N
) )
4429ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
45 ffn 5594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : ( M  X.  N ) --> B  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4644, 30, 453syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( M  X.  N
) )
47 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
48 xpfi 7381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4947, 8, 48syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
5049ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( M  X.  N )  e. 
Fin )
51 opelxpi 4913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  M  /\  j  e.  N )  -> 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) )
5251adantlr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
5352adantll 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
54 fnfvof 6320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  Fn  ( M  X.  N )  /\  Y  Fn  ( M  X.  N ) )  /\  ( ( M  X.  N )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) ) )  -> 
( ( X  o F  .+  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( ( X `  <. i ,  j >. )  .+  ( Y `  <. i ,  j >. )
) )
5543, 46, 50, 53, 54syl22anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( X  o F 
.+  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( ( X `  <. i ,  j >. )  .+  ( Y `  <. i ,  j >. )
) )
56 df-ov 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i ( X  o F 
.+  Y ) j )  =  ( ( X  o F  .+  Y ) `  <. i ,  j >. )
57 df-ov 6087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i X j )  =  ( X `  <. i ,  j >. )
58 df-ov 6087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i Y j )  =  ( Y `  <. i ,  j >. )
5957, 58oveq12i 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i X j ) 
.+  ( i Y j ) )  =  ( ( X `  <. i ,  j >.
)  .+  ( Y `  <. i ,  j
>. ) )
6055, 56, 593eqtr4g 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( X  o F  .+  Y ) j )  =  ( ( i X j ) 
.+  ( i Y j ) ) )
6160oveq1d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X  o F  .+  Y
) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j )  .+  (
i Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
621, 3, 24rngdir 15688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X j )  e.  B  /\  ( i Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
( i X j )  .+  ( i Y j ) ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  .+  (
( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6310, 17, 33, 23, 62syl13anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( i X j )  .+  (
i Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
6461, 63eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X  o F  .+  Y
) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )
6564mpteq2dva 4298 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  o F  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
66 eqidd 2439 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
67 eqidd 2439 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
689, 26, 35, 66, 67offval2 6325 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) 
.+  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6965, 68eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  o F  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  o F  .+  (
j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
7069oveq2d 6100 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  o F  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) ) )
71 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
724adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
7347adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
74 mamudi.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
7574adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
7611adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
7718adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
78 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
79 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
8071, 1, 24, 72, 73, 9, 75, 76, 77, 78, 79mamufv 27436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
8129adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
8271, 1, 24, 72, 73, 9, 75, 81, 77, 78, 79mamufv 27436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( Y F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
8380, 82oveq12d 6102 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( i ( X F Z ) k )  .+  (
i ( Y F Z ) k ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8440, 70, 833eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  o F  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( ( i ( X F Z ) k ) 
.+  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
85 rngmnd 15678 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
864, 85syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
871, 3mndvcl 27437 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )  ->  ( X  o F  .+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
8886, 11, 29, 87syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  o F 
.+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
8988adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X  o F 
.+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
9071, 1, 24, 72, 73, 9, 75, 89, 77, 78, 79mamufv 27436 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X  o F  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  o F  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
911, 4, 71, 47, 8, 74, 11, 18mamucl 27447 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
92 elmapi 7041 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
93 ffn 5594 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9491, 92, 933syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9594adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
961, 4, 71, 47, 8, 74, 29, 18mamucl 27447 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
97 elmapi 7041 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( Y F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
98 ffn 5594 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9996, 97, 983syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
10099adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
101 xpfi 7381 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
10247, 74, 101syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
103102adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
104 opelxpi 4913 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
105104adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
106 fnfvof 6320 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )  /\  ( ( M  X.  O )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) ) )  -> 
( ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
10795, 100, 103, 105, 106syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
108 df-ov 6087 . . . . 5  |-  ( i ( ( X F Z )  o F 
.+  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >. )
109 df-ov 6087 . . . . . 6  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
110 df-ov 6087 . . . . . 6  |-  ( i ( Y F Z ) k )  =  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
111109, 110oveq12i 6096 . . . . 5  |-  ( ( i ( X F Z ) k ) 
.+  ( i ( Y F Z ) k ) )  =  ( ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
)  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >.
) )
112107, 108, 1113eqtr4g 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( i ( X F Z ) k )  .+  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
11384, 90, 1123eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X  o F  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) k ) )
114113ralrimivva 2800 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  o F  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) k ) )
1151, 4, 71, 47, 8, 74, 88, 18mamucl 27447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  .+  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
116 elmapi 7041 . . . 4  |-  ( ( ( X  o F 
.+  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( X  o F  .+  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B )
117 ffn 5594 . . . 4  |-  ( ( ( X  o F 
.+  Y ) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X  o F  .+  Y
) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
118115, 116, 1173syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  .+  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
1191, 3mndvcl 27437 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  /\  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
12086, 91, 96, 119syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  o F 
.+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
121 elmapi 7041 . . . 4  |-  ( ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( X F Z )  o F 
.+  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
122 ffn 5594 . . . 4  |-  ( ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
123120, 121, 1223syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  o F 
.+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
124 eqfnov2 6180 . . 3  |-  ( ( ( ( X  o F  .+  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( ( X F Z )  o F 
.+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )  ->  (
( ( X  o F  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  o F  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) k ) ) )
125118, 123, 124syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  o F  .+  Y
) F Z )  =  ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  o F  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) k ) ) )
126114, 125mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   {csn 3816   <.cop 3819   <.cotp 3820    e. cmpt 4269    X. cxp 4879    Fn wfn 5452   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    o Fcof 6306    ^m cmap 7021   Fincfn 7112   Basecbs 13474   +g cplusg 13534   .rcmulr 13535   0gc0g 13728    gsumg cgsu 13729   Mndcmnd 14689  CMndccmn 15417   Ringcrg 15665   maMul cmmul 27430
This theorem is referenced by:  matrng  27471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-of 6308  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-seq 11329  df-hash 11624  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-ress 13481  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-gsum 13733  df-mnd 14695  df-submnd 14744  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-cntz 15121  df-cmn 15419  df-abl 15420  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670  df-mamu 27432
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