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Theorem mamudi 27337
Description: Matrix multiplication distributes over addition on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamudi.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mamudi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudi.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamudi  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) )

Proof of Theorem mamudi
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2412 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 mamudi.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 rngcmn 15657 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
76adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e. CMnd )
8 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
98adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
104ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
11 mamudi.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
12 elmapi 7005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1413ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
15 simplrl 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
16 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
1714, 15, 16fovrnd 6185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
18 mamudi.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
19 elmapi 7005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2120ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
22 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
2321, 16, 22fovrnd 6185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
24 eqid 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
251, 24rngcl 15640 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
2610, 17, 23, 25syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
27 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
2826, 27fmptd 5860 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) : N --> B )
29 mamudi.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
30 elmapi 7005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
3231ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
3332, 15, 16fovrnd 6185 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i Y j )  e.  B )
341, 24rngcl 15640 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
3510, 33, 23, 34syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
36 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
3735, 36fmptd 5860 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) : N --> B )
389, 28fisuppfi 14736 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
399, 37fisuppfi 14736 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
401, 2, 3, 7, 9, 28, 37, 38, 39gsumadd 15491 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
4111ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
42 ffn 5558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : ( M  X.  N ) --> B  ->  X  Fn  ( M  X.  N ) )
4341, 12, 423syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  Fn  ( M  X.  N
) )
4429ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
45 ffn 5558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : ( M  X.  N ) --> B  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4644, 30, 453syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( M  X.  N
) )
47 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
48 xpfi 7345 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4947, 8, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
5049ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( M  X.  N )  e. 
Fin )
51 opelxpi 4877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  e.  M  /\  j  e.  N )  -> 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) )
5251adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
5352adantll 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
54 fnfvof 6284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  Fn  ( M  X.  N )  /\  Y  Fn  ( M  X.  N ) )  /\  ( ( M  X.  N )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) ) )  -> 
( ( X  o F  .+  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( ( X `  <. i ,  j >. )  .+  ( Y `  <. i ,  j >. )
) )
5543, 46, 50, 53, 54syl22anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( X  o F 
.+  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( ( X `  <. i ,  j >. )  .+  ( Y `  <. i ,  j >. )
) )
56 df-ov 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i ( X  o F 
.+  Y ) j )  =  ( ( X  o F  .+  Y ) `  <. i ,  j >. )
57 df-ov 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i X j )  =  ( X `  <. i ,  j >. )
58 df-ov 6051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i Y j )  =  ( Y `  <. i ,  j >. )
5957, 58oveq12i 6060 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i X j ) 
.+  ( i Y j ) )  =  ( ( X `  <. i ,  j >.
)  .+  ( Y `  <. i ,  j
>. ) )
6055, 56, 593eqtr4g 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( X  o F  .+  Y ) j )  =  ( ( i X j ) 
.+  ( i Y j ) ) )
6160oveq1d 6063 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X  o F  .+  Y
) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j )  .+  (
i Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
621, 3, 24rngdir 15646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X j )  e.  B  /\  ( i Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
( i X j )  .+  ( i Y j ) ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  .+  (
( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6310, 17, 33, 23, 62syl13anc 1186 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( i X j )  .+  (
i Y j ) ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
6461, 63eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( X  o F  .+  Y
) j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )
6564mpteq2dva 4263 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  o F  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) )  .+  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
66 eqidd 2413 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
67 eqidd 2413 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
689, 26, 35, 66, 67offval2 6289 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) 
.+  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6965, 68eqtr4d 2447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  o F  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  o F  .+  (
j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
7069oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  o F  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( R 
gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) ) )
71 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
724adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
7347adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
74 mamudi.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
7574adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
7611adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
7718adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
78 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
79 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
8071, 1, 24, 72, 73, 9, 75, 76, 77, 78, 79mamufv 27321 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
8129adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
8271, 1, 24, 72, 73, 9, 75, 81, 77, 78, 79mamufv 27321 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( Y F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
8380, 82oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( i ( X F Z ) k )  .+  (
i ( Y F Z ) k ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8440, 70, 833eqtr4d 2454 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  o F  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( ( i ( X F Z ) k ) 
.+  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
85 rngmnd 15636 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
864, 85syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
871, 3mndvcl 27322 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )  ->  ( X  o F  .+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
8886, 11, 29, 87syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  o F 
.+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
8988adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X  o F 
.+  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
9071, 1, 24, 72, 73, 9, 75, 89, 77, 78, 79mamufv 27321 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X  o F  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( X  o F  .+  Y ) j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
911, 4, 71, 47, 8, 74, 11, 18mamucl 27332 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
92 elmapi 7005 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
93 ffn 5558 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9491, 92, 933syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9594adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
961, 4, 71, 47, 8, 74, 29, 18mamucl 27332 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
97 elmapi 7005 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( Y F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
98 ffn 5558 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9996, 97, 983syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
10099adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
101 xpfi 7345 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
10247, 74, 101syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
103102adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
104 opelxpi 4877 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
105104adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
106 fnfvof 6284 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )  /\  ( ( M  X.  O )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) ) )  -> 
( ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
10795, 100, 103, 105, 106syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
108 df-ov 6051 . . . . 5  |-  ( i ( ( X F Z )  o F 
.+  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >. )
109 df-ov 6051 . . . . . 6  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
110 df-ov 6051 . . . . . 6  |-  ( i ( Y F Z ) k )  =  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
111109, 110oveq12i 6060 . . . . 5  |-  ( ( i ( X F Z ) k ) 
.+  ( i ( Y F Z ) k ) )  =  ( ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
)  .+  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >.
) )
112107, 108, 1113eqtr4g 2469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( i ( X F Z ) k )  .+  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
11384, 90, 1123eqtr4d 2454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X  o F  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) k ) )
114113ralrimivva 2766 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  o F  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) k ) )
1151, 4, 71, 47, 8, 74, 88, 18mamucl 27332 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  .+  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
116 elmapi 7005 . . . 4  |-  ( ( ( X  o F 
.+  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( X  o F  .+  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B )
117 ffn 5558 . . . 4  |-  ( ( ( X  o F 
.+  Y ) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X  o F  .+  Y
) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
118115, 116, 1173syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  .+  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
1191, 3mndvcl 27322 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  /\  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
12086, 91, 96, 119syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  o F 
.+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
121 elmapi 7005 . . . 4  |-  ( ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( X F Z )  o F 
.+  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
122 ffn 5558 . . . 4  |-  ( ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
123120, 121, 1223syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Z )  o F 
.+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
124 eqfnov2 6144 . . 3  |-  ( ( ( ( X  o F  .+  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( ( X F Z )  o F 
.+  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )  ->  (
( ( X  o F  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  o F  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) k ) ) )
125118, 123, 124syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  o F  .+  Y
) F Z )  =  ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( X  o F  .+  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) k ) ) )
126114, 125mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( ( X  o F  .+  Y ) F Z )  =  ( ( X F Z )  o F  .+  ( Y F Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   _Vcvv 2924    \ cdif 3285   {csn 3782   <.cop 3785   <.cotp 3786    e. cmpt 4234    X. cxp 4843    Fn wfn 5416   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    o Fcof 6270    ^m cmap 6985   Fincfn 7076   Basecbs 13432   +g cplusg 13492   .rcmulr 13493   0gc0g 13686    gsumg cgsu 13687   Mndcmnd 14647  CMndccmn 15375   Ringcrg 15623   maMul cmmul 27315
This theorem is referenced by:  matrng  27356
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-ot 3792  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-oi 7443  df-card 7790  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-seq 11287  df-hash 11582  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-mamu 27317
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