Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mamudiagcl Unicode version

Theorem mamudiagcl 27325
Description: Diagonal matrices are matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudiag.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mamudiag.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mamudiag.i  |-  I  =  ( i  e.  M ,  j  e.  M  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )
mamudiag.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
mamudiagcl  |-  ( ph  ->  I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, B    i, M, j    ph, i,
j
Allowed substitution hints:    R( i, j)    .1. ( i, j)    I( i, j)    .0. ( i, j)

Proof of Theorem mamudiagcl
StepHypRef Expression
1 mamucl.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 mamucl.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 mamudiag.o . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3rngidcl 15639 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
5 mamudiag.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5rng0cl 15640 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
7 ifcl 3735 . . . . . . 7  |-  ( (  .1.  e.  B  /\  .0.  e.  B )  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
84, 6, 7syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
91, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B
)
109adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  j  e.  M ) )  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
1110ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. j  e.  M  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
12 mamudiag.i . . . 4  |-  I  =  ( i  e.  M ,  j  e.  M  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )
1312fmpt2 6377 . . 3  |-  ( A. i  e.  M  A. j  e.  M  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B  <->  I :
( M  X.  M
) --> B )
1411, 13sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  I : ( M  X.  M ) --> B )
15 fvex 5701 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
162, 15eqeltri 2474 . . 3  |-  B  e. 
_V
17 mamudiag.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
18 xpfi 7337 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( M  X.  M
)  e.  Fin )
1917, 17, 18syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  X.  M
)  e.  Fin )
20 elmapg 6990 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  M
)  e.  Fin )  ->  ( I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) )  <-> 
I : ( M  X.  M ) --> B ) )
2116, 19, 20sylancr 645 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) )  <-> 
I : ( M  X.  M ) --> B ) )
2214, 21mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   ifcif 3699    X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    e. cmpt2 6042    ^m cmap 6977   Fincfn 7068   Basecbs 13424   0gc0g 13678   Ringcrg 15615   1rcur 15617
This theorem is referenced by:  mamulid  27326  mamurid  27327  matrng  27348  mat1  27350
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620
  Copyright terms: Public domain W3C validator