Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mamudiagcl Structured version   Unicode version

Theorem mamudiagcl 27448
Description: Diagonal matrices are matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudiag.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mamudiag.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mamudiag.i  |-  I  =  ( i  e.  M ,  j  e.  M  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )
mamudiag.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
mamudiagcl  |-  ( ph  ->  I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, B    i, M, j    ph, i,
j
Allowed substitution hints:    R( i, j)    .1. ( i, j)    I( i, j)    .0. ( i, j)

Proof of Theorem mamudiagcl
StepHypRef Expression
1 mamucl.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 mamucl.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 mamudiag.o . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3rngidcl 15689 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
5 mamudiag.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5rng0cl 15690 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
7 ifcl 3777 . . . . . . 7  |-  ( (  .1.  e.  B  /\  .0.  e.  B )  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
84, 6, 7syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
91, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B
)
109adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  j  e.  M ) )  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
1110ralrimivva 2800 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. j  e.  M  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
12 mamudiag.i . . . 4  |-  I  =  ( i  e.  M ,  j  e.  M  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )
1312fmpt2 6421 . . 3  |-  ( A. i  e.  M  A. j  e.  M  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B  <->  I :
( M  X.  M
) --> B )
1411, 13sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  I : ( M  X.  M ) --> B )
15 fvex 5745 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
162, 15eqeltri 2508 . . 3  |-  B  e. 
_V
17 mamudiag.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
18 xpfi 7381 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( M  X.  M
)  e.  Fin )
1917, 17, 18syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  X.  M
)  e.  Fin )
20 elmapg 7034 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  M
)  e.  Fin )  ->  ( I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) )  <-> 
I : ( M  X.  M ) --> B ) )
2116, 19, 20sylancr 646 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) )  <-> 
I : ( M  X.  M ) --> B ) )
2214, 21mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958   ifcif 3741    X. cxp 4879   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084    e. cmpt2 6086    ^m cmap 7021   Fincfn 7112   Basecbs 13474   0gc0g 13728   Ringcrg 15665   1rcur 15667
This theorem is referenced by:  mamulid  27449  mamurid  27450  matrng  27471  mat1  27473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-ndx 13477  df-slot 13478  df-base 13479  df-sets 13480  df-plusg 13547  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-mgp 15654  df-rng 15668  df-ur 15670
  Copyright terms: Public domain W3C validator