Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mamudiagcl Unicode version

Theorem mamudiagcl 27457
Description: Diagonal matrices are matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudiag.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mamudiag.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mamudiag.i  |-  I  =  ( i  e.  M ,  j  e.  M  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )
mamudiag.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
mamudiagcl  |-  ( ph  ->  I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, B    i, M, j    ph, i,
j
Allowed substitution hints:    R( i, j)    .1. ( i, j)    I( i, j)    .0. ( i, j)

Proof of Theorem mamudiagcl
StepHypRef Expression
1 mamucl.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 mamucl.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 mamudiag.o . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3rngidcl 15361 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
5 mamudiag.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5rng0cl 15362 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
7 ifcl 3601 . . . . . . 7  |-  ( (  .1.  e.  B  /\  .0.  e.  B )  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
84, 6, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
91, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B
)
109adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  j  e.  M ) )  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
1110ralrimivva 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. j  e.  M  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
12 mamudiag.i . . . 4  |-  I  =  ( i  e.  M ,  j  e.  M  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )
1312fmpt2 6191 . . 3  |-  ( A. i  e.  M  A. j  e.  M  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B  <->  I :
( M  X.  M
) --> B )
1411, 13sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  I : ( M  X.  M ) --> B )
15 fvex 5539 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
162, 15eqeltri 2353 . . 3  |-  B  e. 
_V
17 mamudiag.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
18 xpfi 7128 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( M  X.  M
)  e.  Fin )
1917, 17, 18syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  X.  M
)  e.  Fin )
20 elmapg 6785 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  M
)  e.  Fin )  ->  ( I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) )  <-> 
I : ( M  X.  M ) --> B ) )
2116, 19, 20sylancr 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) )  <-> 
I : ( M  X.  M ) --> B ) )
2214, 21mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788   ifcif 3565    X. cxp 4687   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   Basecbs 13148   0gc0g 13400   Ringcrg 15337   1rcur 15339
This theorem is referenced by:  mamulid  27458  mamurid  27459  matrng  27480  mat1  27482
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342
  Copyright terms: Public domain W3C validator