Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mamudiagcl Unicode version

Theorem mamudiagcl 26780
Description: Diagonal matrices are matrices. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudiag.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mamudiag.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mamudiag.i  |-  I  =  ( i  e.  M ,  j  e.  M  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )
mamudiag.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
Assertion
Ref Expression
mamudiagcl  |-  ( ph  ->  I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) ) )
Distinct variable groups:    i, j, B    i, M, j    ph, i,
j
Allowed substitution hints:    R( i, j)    .1. ( i, j)    I( i, j)    .0. ( i, j)

Proof of Theorem mamudiagcl
StepHypRef Expression
1 mamucl.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
2 mamucl.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  R
)
3 mamudiag.o . . . . . . . 8  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
42, 3rngidcl 15460 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  B )
5 mamudiag.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
62, 5rng0cl 15461 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  B )
7 ifcl 3677 . . . . . . 7  |-  ( (  .1.  e.  B  /\  .0.  e.  B )  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
84, 6, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
91, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B
)
109adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  j  e.  M ) )  ->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
1110ralrimivva 2711 . . 3  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. j  e.  M  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B )
12 mamudiag.i . . . 4  |-  I  =  ( i  e.  M ,  j  e.  M  |->  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  ) )
1312fmpt2 6278 . . 3  |-  ( A. i  e.  M  A. j  e.  M  if ( i  =  j ,  .1.  ,  .0.  )  e.  B  <->  I :
( M  X.  M
) --> B )
1411, 13sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  I : ( M  X.  M ) --> B )
15 fvex 5622 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
162, 15eqeltri 2428 . . 3  |-  B  e. 
_V
17 mamudiag.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
18 xpfi 7218 . . . 4  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  M  e.  Fin )  ->  ( M  X.  M
)  e.  Fin )
1917, 17, 18syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( M  X.  M
)  e.  Fin )
20 elmapg 6873 . . 3  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  M
)  e.  Fin )  ->  ( I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) )  <-> 
I : ( M  X.  M ) --> B ) )
2116, 19, 20sylancr 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) )  <-> 
I : ( M  X.  M ) --> B ) )
2214, 21mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  I  e.  ( B  ^m  ( M  X.  M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   _Vcvv 2864   ifcif 3641    X. cxp 4769   -->wf 5333   ` cfv 5337  (class class class)co 5945    e. cmpt2 5947    ^m cmap 6860   Fincfn 6951   Basecbs 13245   0gc0g 13499   Ringcrg 15436   1rcur 15438
This theorem is referenced by:  mamulid  26781  mamurid  26782  matrng  26803  mat1  26805
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-oadd 6570  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-2 9894  df-ndx 13248  df-slot 13249  df-base 13250  df-sets 13251  df-plusg 13318  df-0g 13503  df-mnd 14466  df-grp 14588  df-mgp 15425  df-rng 15439  df-ur 15441
  Copyright terms: Public domain W3C validator