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Theorem mamudir 27462
Description: Matrix multiplication distributes over addition on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamudir.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mamudir.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudir.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
mamudir.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamudir  |-  ( ph  ->  ( X F ( Y  o F  .+  Z ) )  =  ( ( X F Y )  o F 
.+  ( X F Z ) ) )

Proof of Theorem mamudir
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 mamudir.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 rngcmn 15371 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
64, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
76adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e. CMnd )
8 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
98adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
104ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
11 mamudir.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
12 elmapi 6792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1311, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1413ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
15 simplrl 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
16 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
17 fovrn 5990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X : ( M  X.  N ) --> B  /\  i  e.  M  /\  j  e.  N
)  ->  ( i X j )  e.  B )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
19 mamudir.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
20 elmapi 6792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2221ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
23 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
24 fovrn 5990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y : ( N  X.  O ) --> B  /\  j  e.  N  /\  k  e.  O
)  ->  ( j Y k )  e.  B )
2522, 16, 23, 24syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Y k )  e.  B )
26 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
271, 26rngcl 15354 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Y k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
2810, 18, 25, 27syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
29 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )
3028, 29fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) : N --> B )
31 mamudir.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
32 elmapi 6792 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
35 fovrn 5990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z : ( N  X.  O ) --> B  /\  j  e.  N  /\  k  e.  O
)  ->  ( j Z k )  e.  B )
3634, 16, 23, 35syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
371, 26rngcl 15354 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
3810, 18, 36, 37syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
39 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
4038, 39fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) : N --> B )
419, 30fisuppfi 14450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
429, 40fisuppfi 14450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
431, 2, 3, 7, 9, 30, 40, 41, 42gsumadd 15205 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
44 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : ( N  X.  O ) --> B  ->  Y  Fn  ( N  X.  O ) )
4522, 44syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( N  X.  O
) )
46 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z : ( N  X.  O ) --> B  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
4734, 46syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z  Fn  ( N  X.  O
) )
48 mamudi.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
49 xpfi 7128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
508, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
5150ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( N  X.  O )  e. 
Fin )
52 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  N  /\  k  e.  O )  -> 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) )
5352ancoms 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  O  /\  j  e.  N )  -> 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) )
5453adantll 694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O
)  /\  j  e.  N )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )
5554adantll 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )
56 fnfvof 6090 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y  Fn  ( N  X.  O )  /\  Z  Fn  ( N  X.  O ) )  /\  ( ( N  X.  O )  e.  Fin  /\ 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) ) )  -> 
( ( Y  o F  .+  Z ) `  <. j ,  k >.
)  =  ( ( Y `  <. j ,  k >. )  .+  ( Z `  <. j ,  k >. )
) )
5745, 47, 51, 55, 56syl22anc 1183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( Y  o F 
.+  Z ) `  <. j ,  k >.
)  =  ( ( Y `  <. j ,  k >. )  .+  ( Z `  <. j ,  k >. )
) )
58 df-ov 5861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j ( Y  o F 
.+  Z ) k )  =  ( ( Y  o F  .+  Z ) `  <. j ,  k >. )
59 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j Y k )  =  ( Y `  <. j ,  k >. )
60 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j Z k )  =  ( Z `  <. j ,  k >. )
6159, 60oveq12i 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j Y k ) 
.+  ( j Z k ) )  =  ( ( Y `  <. j ,  k >.
)  .+  ( Z `  <. j ,  k
>. ) )
6257, 58, 613eqtr4g 2340 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j ( Y  o F  .+  Z ) k )  =  ( ( j Y k ) 
.+  ( j Z k ) ) )
6362oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j ( Y  o F 
.+  Z ) k ) )  =  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( ( j Y k ) 
.+  ( j Z k ) ) ) )
641, 3, 26rngdi 15359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X j )  e.  B  /\  ( j Y k )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
i X j ) ( .r `  R
) ( ( j Y k )  .+  ( j Z k ) ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  .+  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6510, 18, 25, 36, 64syl13anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( ( j Y k ) 
.+  ( j Z k ) ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) )  .+  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
6663, 65eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j ( Y  o F 
.+  Z ) k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) )  .+  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )
6766mpteq2dva 4106 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  o F  .+  Z ) k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  .+  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
68 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) ) )
69 eqidd 2284 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
709, 28, 38, 68, 69offval2 6095 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) 
.+  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
7167, 70eqtr4d 2318 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  o F  .+  Z ) k ) ) )  =  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
7271oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  o F  .+  Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
73 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
744adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
75 mamudi.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
7675adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
7748adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
7811adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
7919adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
80 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
81 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
8273, 1, 26, 74, 76, 9, 77, 78, 79, 80, 81mamufv 27445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Y ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) )
8331adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
8473, 1, 26, 74, 76, 9, 77, 78, 83, 80, 81mamufv 27445 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
8582, 84oveq12d 5876 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( i ( X F Y ) k )  .+  (
i ( X F Z ) k ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8643, 72, 853eqtr4d 2325 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  o F  .+  Z ) k ) ) ) )  =  ( ( i ( X F Y ) k )  .+  ( i ( X F Z ) k ) ) )
87 rngmnd 15350 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
884, 87syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
891, 3mndvcl 27446 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  /\  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )  ->  ( Y  o F  .+  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
9088, 19, 31, 89syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  o F 
.+  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
9190adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y  o F 
.+  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
9273, 1, 26, 74, 76, 9, 77, 78, 91, 80, 81mamufv 27445 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( Y  o F  .+  Z ) ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  o F  .+  Z ) k ) ) ) ) )
931, 4, 73, 75, 8, 48, 11, 19mamucl 27456 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
94 elmapi 6792 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Y ) : ( M  X.  O
) --> B )
95 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Y ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Y )  Fn  ( M  X.  O ) )
9693, 94, 953syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  Fn  ( M  X.  O ) )
9796adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Y )  Fn  ( M  X.  O ) )
981, 4, 73, 75, 8, 48, 11, 31mamucl 27456 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
99 elmapi 6792 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
100 ffn 5389 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
10198, 99, 1003syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
102101adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
103 xpfi 7128 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
10475, 48, 103syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
105104adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
106 opelxpi 4721 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
107106adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
108 fnfvof 6090 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X F Y )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )  /\  ( ( M  X.  O )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) ) )  -> 
( ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Y ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
10997, 102, 105, 107, 108syl22anc 1183 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Y ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
110 df-ov 5861 . . . . 5  |-  ( i ( ( X F Y )  o F 
.+  ( X F Z ) ) k )  =  ( ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >. )
111 df-ov 5861 . . . . . 6  |-  ( i ( X F Y ) k )  =  ( ( X F Y ) `  <. i ,  k >. )
112 df-ov 5861 . . . . . 6  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
113111, 112oveq12i 5870 . . . . 5  |-  ( ( i ( X F Y ) k ) 
.+  ( i ( X F Z ) k ) )  =  ( ( ( X F Y ) `  <. i ,  k >.
)  .+  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
) )
114109, 110, 1133eqtr4g 2340 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) k )  =  ( ( i ( X F Y ) k )  .+  ( i ( X F Z ) k ) ) )
11586, 92, 1143eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( Y  o F  .+  Z ) ) k )  =  ( i ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) k ) )
116115ralrimivva 2635 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( Y  o F  .+  Z ) ) k )  =  ( i ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) k ) )
1171, 4, 73, 75, 8, 48, 11, 90mamucl 27456 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F ( Y  o F  .+  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
118 elmapi 6792 . . . 4  |-  ( ( X F ( Y  o F  .+  Z
) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( X F ( Y  o F 
.+  Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
119 ffn 5389 . . . 4  |-  ( ( X F ( Y  o F  .+  Z
) ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( X F ( Y  o F  .+  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
120117, 118, 1193syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X F ( Y  o F  .+  Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
1211, 3mndvcl 27446 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
12288, 93, 98, 121syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y )  o F 
.+  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
123 elmapi 6792 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( X F Y )  o F 
.+  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
124 ffn 5389 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
125122, 123, 1243syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y )  o F 
.+  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
126 eqfnov2 5951 . . 3  |-  ( ( ( X F ( Y  o F  .+  Z ) )  Fn  ( M  X.  O
)  /\  ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( X F ( Y  o F 
.+  Z ) )  =  ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( Y  o F  .+  Z ) ) k )  =  ( i ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) k ) ) )
127120, 125, 126syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X F ( Y  o F 
.+  Z ) )  =  ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( Y  o F  .+  Z ) ) k )  =  ( i ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) k ) ) )
128116, 127mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( X F ( Y  o F  .+  Z ) )  =  ( ( X F Y )  o F 
.+  ( X F Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    \ cdif 3149   {csn 3640   <.cop 3643   <.cotp 3644    e. cmpt 4077    X. cxp 4687    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209   0gc0g 13400    gsumg cgsu 13401   Mndcmnd 14361  CMndccmn 15089   Ringcrg 15337   maMul cmmul 27439
This theorem is referenced by:  matrng  27480
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-ot 3650  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-mamu 27441
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