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Theorem mamudir 27441
Description: Matrix multiplication distributes over addition on the right. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamudir.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
mamudir.x  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamudir.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
mamudir.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamudir  |-  ( ph  ->  ( X F ( Y  o F  .+  Z ) )  =  ( ( X F Y )  o F 
.+  ( X F Z ) ) )

Proof of Theorem mamudir
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2438 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 mamudir.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 mamucl.r . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
5 rngcmn 15696 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
64, 5syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e. CMnd )
76adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e. CMnd )
8 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
98adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
104ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
11 mamudir.x . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
12 elmapi 7040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
1413ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X : ( M  X.  N ) --> B )
15 simplrl 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
16 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
1714, 15, 16fovrnd 6220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i X j )  e.  B )
18 mamudir.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
19 elmapi 7040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
2120ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( N  X.  O ) --> B )
22 simplrr 739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
2321, 16, 22fovrnd 6220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Y k )  e.  B )
24 eqid 2438 . . . . . . . . 9  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
251, 24rngcl 15679 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Y k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
2610, 17, 23, 25syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  e.  B )
27 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )
2826, 27fmptd 5895 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) : N --> B )
29 mamudir.z . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
30 elmapi 7040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3231ad2antrr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
3332, 16, 22fovrnd 6220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
341, 24rngcl 15679 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i X j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
3510, 17, 33, 34syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) )  e.  B )
36 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) )
3735, 36fmptd 5895 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) : N --> B )
389, 28fisuppfi 14775 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
399, 37fisuppfi 14775 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
401, 2, 3, 7, 9, 28, 37, 38, 39gsumadd 15530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
41 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y : ( N  X.  O ) --> B  ->  Y  Fn  ( N  X.  O ) )
4221, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( N  X.  O
) )
43 ffn 5593 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z : ( N  X.  O ) --> B  ->  Z  Fn  ( N  X.  O ) )
4432, 43syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z  Fn  ( N  X.  O
) )
45 mamudi.o . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
46 xpfi 7380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
478, 45, 46syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  X.  O
)  e.  Fin )
4847ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( N  X.  O )  e. 
Fin )
49 opelxpi 4912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  N  /\  k  e.  O )  -> 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) )
5049ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  O  /\  j  e.  N )  -> 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) )
5150adantll 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O
)  /\  j  e.  N )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )
5251adantll 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O ) )
53 fnfvof 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y  Fn  ( N  X.  O )  /\  Z  Fn  ( N  X.  O ) )  /\  ( ( N  X.  O )  e.  Fin  /\ 
<. j ,  k >.  e.  ( N  X.  O
) ) )  -> 
( ( Y  o F  .+  Z ) `  <. j ,  k >.
)  =  ( ( Y `  <. j ,  k >. )  .+  ( Z `  <. j ,  k >. )
) )
5442, 44, 48, 52, 53syl22anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( Y  o F 
.+  Z ) `  <. j ,  k >.
)  =  ( ( Y `  <. j ,  k >. )  .+  ( Z `  <. j ,  k >. )
) )
55 df-ov 6086 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j ( Y  o F 
.+  Z ) k )  =  ( ( Y  o F  .+  Z ) `  <. j ,  k >. )
56 df-ov 6086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j Y k )  =  ( Y `  <. j ,  k >. )
57 df-ov 6086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j Z k )  =  ( Z `  <. j ,  k >. )
5856, 57oveq12i 6095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j Y k ) 
.+  ( j Z k ) )  =  ( ( Y `  <. j ,  k >.
)  .+  ( Z `  <. j ,  k
>. ) )
5954, 55, 583eqtr4g 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j ( Y  o F  .+  Z ) k )  =  ( ( j Y k ) 
.+  ( j Z k ) ) )
6059oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j ( Y  o F 
.+  Z ) k ) )  =  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( ( j Y k ) 
.+  ( j Z k ) ) ) )
611, 3, 24rngdi 15684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( i X j )  e.  B  /\  ( j Y k )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( (
i X j ) ( .r `  R
) ( ( j Y k )  .+  ( j Z k ) ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  .+  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
6210, 17, 23, 33, 61syl13anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( ( j Y k ) 
.+  ( j Z k ) ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Y k ) )  .+  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) )
6360, 62eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j ( Y  o F 
.+  Z ) k ) )  =  ( ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) )  .+  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )
6463mpteq2dva 4297 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  o F  .+  Z ) k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) )  .+  (
( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
65 eqidd 2439 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) ) )
66 eqidd 2439 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) )
679, 26, 35, 65, 66offval2 6324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) 
.+  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
6864, 67eqtr4d 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  o F  .+  Z ) k ) ) )  =  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R
) ( j Z k ) ) ) ) )
6968oveq2d 6099 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  o F  .+  Z ) k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r `  R ) ( j Y k ) ) )  o F  .+  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
70 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
714adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
72 mamudi.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
7372adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
7445adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
7511adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
7618adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
77 simprl 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
78 simprr 735 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
7970, 1, 24, 71, 73, 9, 74, 75, 76, 77, 78mamufv 27424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Y ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) ) )
8029adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
8170, 1, 24, 71, 73, 9, 74, 75, 80, 77, 78mamufv 27424 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) )
8279, 81oveq12d 6101 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( i ( X F Y ) k )  .+  (
i ( X F Z ) k ) )  =  ( ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Y k ) ) ) )  .+  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j Z k ) ) ) ) ) )
8340, 69, 823eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  o F  .+  Z ) k ) ) ) )  =  ( ( i ( X F Y ) k )  .+  ( i ( X F Z ) k ) ) )
84 rngmnd 15675 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
854, 84syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Mnd )
861, 3mndvcl 27425 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  /\  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )  ->  ( Y  o F  .+  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
8785, 18, 29, 86syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Y  o F 
.+  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
8887adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y  o F 
.+  Z )  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
8970, 1, 24, 71, 73, 9, 74, 75, 88, 77, 78mamufv 27424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( Y  o F  .+  Z ) ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i X j ) ( .r
`  R ) ( j ( Y  o F  .+  Z ) k ) ) ) ) )
901, 4, 70, 72, 8, 45, 11, 18mamucl 27435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
91 elmapi 7040 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Y ) : ( M  X.  O
) --> B )
92 ffn 5593 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Y ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Y )  Fn  ( M  X.  O ) )
9390, 91, 923syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X F Y )  Fn  ( M  X.  O ) )
9493adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Y )  Fn  ( M  X.  O ) )
951, 4, 70, 72, 8, 45, 11, 29mamucl 27435 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
96 elmapi 7040 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( X F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
97 ffn 5593 . . . . . . . 8  |-  ( ( X F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9895, 96, 973syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9998adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
100 xpfi 7380 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
10172, 45, 100syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
102101adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
103 opelxpi 4912 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
104103adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
105 fnfvof 6319 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X F Y )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( X F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )  /\  ( ( M  X.  O )  e.  Fin  /\ 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) ) )  -> 
( ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Y ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
10694, 99, 102, 104, 105syl22anc 1186 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
( ( X F Y ) `  <. i ,  k >. )  .+  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
) )
107 df-ov 6086 . . . . 5  |-  ( i ( ( X F Y )  o F 
.+  ( X F Z ) ) k )  =  ( ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) `  <. i ,  k >. )
108 df-ov 6086 . . . . . 6  |-  ( i ( X F Y ) k )  =  ( ( X F Y ) `  <. i ,  k >. )
109 df-ov 6086 . . . . . 6  |-  ( i ( X F Z ) k )  =  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >. )
110108, 109oveq12i 6095 . . . . 5  |-  ( ( i ( X F Y ) k ) 
.+  ( i ( X F Z ) k ) )  =  ( ( ( X F Y ) `  <. i ,  k >.
)  .+  ( ( X F Z ) `  <. i ,  k >.
) )
111106, 107, 1103eqtr4g 2495 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) k )  =  ( ( i ( X F Y ) k )  .+  ( i ( X F Z ) k ) ) )
11283, 89, 1113eqtr4d 2480 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( X F ( Y  o F  .+  Z ) ) k )  =  ( i ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) k ) )
113112ralrimivva 2800 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( Y  o F  .+  Z ) ) k )  =  ( i ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) k ) )
1141, 4, 70, 72, 8, 45, 11, 87mamucl 27435 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X F ( Y  o F  .+  Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
115 elmapi 7040 . . . 4  |-  ( ( X F ( Y  o F  .+  Z
) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( X F ( Y  o F 
.+  Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
116 ffn 5593 . . . 4  |-  ( ( X F ( Y  o F  .+  Z
) ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( X F ( Y  o F  .+  Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
117114, 115, 1163syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X F ( Y  o F  .+  Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
1181, 3mndvcl 27425 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  ( X F Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  /\  ( X F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
11985, 90, 95, 118syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y )  o F 
.+  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
120 elmapi 7040 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( X F Y )  o F 
.+  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B )
121 ffn 5593 . . . 4  |-  ( ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B  ->  ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
122119, 120, 1213syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X F Y )  o F 
.+  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
123 eqfnov2 6179 . . 3  |-  ( ( ( X F ( Y  o F  .+  Z ) )  Fn  ( M  X.  O
)  /\  ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( X F ( Y  o F 
.+  Z ) )  =  ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( Y  o F  .+  Z ) ) k )  =  ( i ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) k ) ) )
124117, 122, 123syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X F ( Y  o F 
.+  Z ) )  =  ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( X F ( Y  o F  .+  Z ) ) k )  =  ( i ( ( X F Y )  o F  .+  ( X F Z ) ) k ) ) )
125113, 124mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( X F ( Y  o F  .+  Z ) )  =  ( ( X F Y )  o F 
.+  ( X F Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   _Vcvv 2958    \ cdif 3319   {csn 3816   <.cop 3819   <.cotp 3820    e. cmpt 4268    X. cxp 4878    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    o Fcof 6305    ^m cmap 7020   Fincfn 7111   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   .rcmulr 13532   0gc0g 13725    gsumg cgsu 13726   Mndcmnd 14686  CMndccmn 15414   Ringcrg 15662   maMul cmmul 27418
This theorem is referenced by:  matrng  27459
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-ot 3826  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-ur 15667  df-mamu 27420
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