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Theorem mamuvs1 27566
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuvs1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mamuvs1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mamuvs1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuvs1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamuvs1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) )

Proof of Theorem mamuvs1
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 mamuvs1.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 mamucl.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
65adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
7 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
87adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
9 mamuvs1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
109adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  B )
115ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
12 mamuvs1.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
13 elmapi 6808 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
1514ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
16 simplrl 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
17 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
18 fovrn 6006 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y : ( M  X.  N ) --> B  /\  i  e.  M  /\  j  e.  N
)  ->  ( i Y j )  e.  B )
1915, 16, 17, 18syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i Y j )  e.  B )
20 mamuvs1.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
21 elmapi 6808 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2322ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
24 simplrr 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
25 fovrn 6006 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z : ( N  X.  O ) --> B  /\  j  e.  N  /\  k  e.  O
)  ->  ( j Z k )  e.  B )
2623, 17, 24, 25syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
271, 4rngcl 15370 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) )  e.  B )
2811, 19, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  B )
29 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) )
3028, 29fmptd 5700 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) : N --> B )
318, 30fisuppfi 14466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
321, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 28, 31gsummulc2 15407 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( X  .x.  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
33 df-ov 5877 . . . . . . . . . 10  |-  ( i ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) j )  =  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) `  <. i ,  j >. )
34 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
35 opelxpi 4737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  M  /\  j  e.  N )  -> 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) )
3634, 35sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
37 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
38 xpfi 7144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
3937, 7, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( M  X.  N )  e. 
Fin )
419ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  B )
42 ffn 5405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y : ( M  X.  N ) --> B  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4312, 13, 423syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4443ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( M  X.  N
) )
45 df-ov 5877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i Y j )  =  ( Y `  <. i ,  j >. )
4645eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y `
 <. i ,  j
>. )  =  (
i Y j )
4746a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )  ->  ( Y `  <. i ,  j
>. )  =  (
i Y j ) )
4840, 41, 44, 47ofc1 6116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )  ->  ( (
( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( X 
.x.  ( i Y j ) ) )
4936, 48mpdan 649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) `  <. i ,  j >. )  =  ( X  .x.  ( i Y j ) ) )
5033, 49syl5eq 2340 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) j )  =  ( X  .x.  ( i Y j ) ) )
5150oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( ( X 
.x.  ( i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) ) )
521, 4rngass 15373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  ( i Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( ( X  .x.  ( i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) )
5311, 41, 19, 26, 52syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( X  .x.  (
i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
5451, 53eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
5554mpteq2dva 4122 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( X 
.x.  ( ( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )
5655oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( X  .x.  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
57 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
5837adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
59 mamudi.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
6059adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
6112adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
6220adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
63 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
6457, 1, 4, 6, 58, 8, 60, 61, 62, 34, 63mamufv 27548 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( Y F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
6564oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X  .x.  (
i ( Y F Z ) k ) )  =  ( X 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
6632, 56, 653eqtr4d 2338 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) ) )  =  ( X  .x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
67 fconst6g 5446 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  (
( M  X.  N
)  X.  { X } ) : ( M  X.  N ) --> B )
689, 67syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  N )  X.  { X } ) : ( M  X.  N ) --> B )
69 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
701, 69eqeltri 2366 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
71 elmapg 6801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  N
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  <->  ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  N ) --> B ) )
7270, 39, 71sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  <->  ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  N ) --> B ) )
7368, 72mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
741, 4rngvcl 27556 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  N
)  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )  ->  ( (
( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
755, 73, 12, 74syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
7675adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
7757, 1, 4, 6, 58, 8, 60, 76, 62, 34, 63mamufv 27548 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
78 df-ov 5877 . . . . 5  |-  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )
79 opelxpi 4737 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
8079adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
81 xpfi 7144 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8237, 59, 81syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8382adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
841, 5, 57, 37, 7, 59, 12, 20mamucl 27559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
85 elmapi 6808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( Y F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
86 ffn 5405 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8784, 85, 863syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8887adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
89 df-ov 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( i ( Y F Z ) k )  =  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
9089eqcomi 2300 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
i ( Y F Z ) k )
9190a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( i ( Y F Z ) k ) )
9283, 10, 88, 91ofc1 6116 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( X 
.x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9380, 92mpdan 649 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X }
)  o F  .x.  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >. )  =  ( X  .x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9478, 93syl5eq 2340 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k )  =  ( X 
.x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9566, 77, 943eqtr4d 2338 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k ) )
9695ralrimivva 2648 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k ) )
971, 5, 57, 37, 7, 59, 75, 20mamucl 27559 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
98 elmapi 6808 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  (
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B )
99 ffn 5405 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
10097, 98, 993syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
101 fconst6g 5446 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  (
( M  X.  O
)  X.  { X } ) : ( M  X.  O ) --> B )
1029, 101syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { X } ) : ( M  X.  O ) --> B )
103 elmapg 6801 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
10470, 82, 103sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
105102, 104mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
1061, 4rngvcl 27556 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  O
)  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  /\  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( (
( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
1075, 105, 84, 106syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
108 elmapi 6808 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X }
)  o F  .x.  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
109 ffn 5405 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B  ->  (
( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
110107, 108, 1093syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
111 eqfnov2 5967 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k ) ) )
112100, 110, 111syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k ) ) )
11396, 112mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   _Vcvv 2801    \ cdif 3162   {csn 3653   <.cop 3656   <.cotp 3657    e. cmpt 4093    X. cxp 4703    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    o Fcof 6092    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   Basecbs 13164   +g cplusg 13224   .rcmulr 13225   0gc0g 13416    gsumg cgsu 13417   Ringcrg 15353   maMul cmmul 27542
This theorem is referenced by:  matassa  27584
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-ot 3663  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-ur 15358  df-mamu 27544
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