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Theorem mamuvs1 27125
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuvs1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mamuvs1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mamuvs1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuvs1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamuvs1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) )

Proof of Theorem mamuvs1
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 mamuvs1.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 mamucl.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
65adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
7 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
87adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
9 mamuvs1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
109adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  B )
115ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
12 mamuvs1.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
13 elmapi 6967 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
16 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
17 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
1815, 16, 17fovrnd 6150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i Y j )  e.  B )
19 mamuvs1.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
20 elmapi 6967 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
23 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
2422, 17, 23fovrnd 6150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
251, 4rngcl 15597 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) )  e.  B )
2611, 18, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  B )
27 eqid 2380 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) )
2826, 27fmptd 5825 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) : N --> B )
298, 28fisuppfi 14693 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
301, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 26, 29gsummulc2 15634 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( X  .x.  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
31 df-ov 6016 . . . . . . . . . 10  |-  ( i ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) j )  =  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) `  <. i ,  j >. )
32 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
33 opelxpi 4843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  M  /\  j  e.  N )  -> 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) )
3432, 33sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
35 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
36 xpfi 7307 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
3735, 7, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
3837ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( M  X.  N )  e. 
Fin )
399ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  B )
40 ffn 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y : ( M  X.  N ) --> B  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4112, 13, 403syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4241ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( M  X.  N
) )
43 df-ov 6016 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i Y j )  =  ( Y `  <. i ,  j >. )
4443eqcomi 2384 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y `
 <. i ,  j
>. )  =  (
i Y j )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )  ->  ( Y `  <. i ,  j
>. )  =  (
i Y j ) )
4638, 39, 42, 45ofc1 6259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )  ->  ( (
( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( X 
.x.  ( i Y j ) ) )
4734, 46mpdan 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) `  <. i ,  j >. )  =  ( X  .x.  ( i Y j ) ) )
4831, 47syl5eq 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) j )  =  ( X  .x.  ( i Y j ) ) )
4948oveq1d 6028 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( ( X 
.x.  ( i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) ) )
501, 4rngass 15600 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  ( i Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( ( X  .x.  ( i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) )
5111, 39, 18, 24, 50syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( X  .x.  (
i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
5249, 51eqtrd 2412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
5352mpteq2dva 4229 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( X 
.x.  ( ( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )
5453oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( X  .x.  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
55 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
5635adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
57 mamudi.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
5857adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
5912adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
6019adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
61 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
6255, 1, 4, 6, 56, 8, 58, 59, 60, 32, 61mamufv 27107 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( Y F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
6362oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X  .x.  (
i ( Y F Z ) k ) )  =  ( X 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
6430, 54, 633eqtr4d 2422 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) ) )  =  ( X  .x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
65 fconst6g 5565 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  (
( M  X.  N
)  X.  { X } ) : ( M  X.  N ) --> B )
669, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  N )  X.  { X } ) : ( M  X.  N ) --> B )
67 fvex 5675 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
681, 67eqeltri 2450 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
69 elmapg 6960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  N
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  <->  ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  N ) --> B ) )
7068, 37, 69sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  <->  ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  N ) --> B ) )
7166, 70mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
721, 4rngvcl 27115 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  N
)  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )  ->  ( (
( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
735, 71, 12, 72syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
7473adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
7555, 1, 4, 6, 56, 8, 58, 74, 60, 32, 61mamufv 27107 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
76 df-ov 6016 . . . . 5  |-  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )
77 opelxpi 4843 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
7877adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
79 xpfi 7307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8035, 57, 79syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8180adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
821, 5, 55, 35, 7, 57, 12, 19mamucl 27118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
83 elmapi 6967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( Y F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
84 ffn 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8582, 83, 843syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8685adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
87 df-ov 6016 . . . . . . . . 9  |-  ( i ( Y F Z ) k )  =  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
8887eqcomi 2384 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
i ( Y F Z ) k )
8988a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( i ( Y F Z ) k ) )
9081, 10, 86, 89ofc1 6259 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( X 
.x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9178, 90mpdan 650 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X }
)  o F  .x.  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >. )  =  ( X  .x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9276, 91syl5eq 2424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k )  =  ( X 
.x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9364, 75, 923eqtr4d 2422 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k ) )
9493ralrimivva 2734 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k ) )
951, 5, 55, 35, 7, 57, 73, 19mamucl 27118 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
96 elmapi 6967 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  (
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B )
97 ffn 5524 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9895, 96, 973syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
99 fconst6g 5565 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  (
( M  X.  O
)  X.  { X } ) : ( M  X.  O ) --> B )
1009, 99syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { X } ) : ( M  X.  O ) --> B )
101 elmapg 6960 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
10268, 80, 101sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
103100, 102mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
1041, 4rngvcl 27115 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  O
)  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  /\  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( (
( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
1055, 103, 82, 104syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
106 elmapi 6967 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X }
)  o F  .x.  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
107 ffn 5524 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B  ->  (
( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
108105, 106, 1073syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
109 eqfnov2 6109 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k ) ) )
11098, 108, 109syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k ) ) )
11194, 110mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   _Vcvv 2892    \ cdif 3253   {csn 3750   <.cop 3753   <.cotp 3754    e. cmpt 4200    X. cxp 4809    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013    o Fcof 6235    ^m cmap 6947   Fincfn 7038   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   .rcmulr 13450   0gc0g 13643    gsumg cgsu 13644   Ringcrg 15580   maMul cmmul 27101
This theorem is referenced by:  matassa  27143
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-ot 3760  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-plusg 13462  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-ghm 14924  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-mamu 27103
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