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Theorem mamuvs1 27431
Description: Matrix multiplication distributes over scalar multiplication on the left. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamucl.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
mamucl.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mamudi.f  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
mamudi.m  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
mamudi.n  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
mamudi.o  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
mamuvs1.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
mamuvs1.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
mamuvs1.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
mamuvs1.z  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
Assertion
Ref Expression
mamuvs1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) )

Proof of Theorem mamuvs1
Dummy variables  i 
j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamucl.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
2 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
3 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
4 mamuvs1.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  R )
5 mamucl.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
65adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  R  e.  Ring )
7 mamudi.n . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  Fin )
87adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  N  e.  Fin )
9 mamuvs1.x . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
109adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  X  e.  B )
115ad2antrr 707 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  R  e.  Ring )
12 mamuvs1.y . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
13 elmapi 7030 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y : ( M  X.  N ) --> B )
16 simplrl 737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  i  e.  M )
17 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  j  e.  N )
1815, 16, 17fovrnd 6210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i Y j )  e.  B )
19 mamuvs1.z . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O ) ) )
20 elmapi 7030 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
2221ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Z : ( N  X.  O ) --> B )
23 simplrr 738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  k  e.  O )
2422, 17, 23fovrnd 6210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
j Z k )  e.  B )
251, 4rngcl 15669 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
i Y j )  e.  B  /\  (
j Z k )  e.  B )  -> 
( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) )  e.  B )
2611, 18, 24, 25syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) )  e.  B )
27 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) )
2826, 27fmptd 5885 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) : N --> B )
298, 28fisuppfi 14765 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( `' ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) )
" ( _V  \  { ( 0g `  R ) } ) )  e.  Fin )
301, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 26, 29gsummulc2 15706 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( X  .x.  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )  =  ( X  .x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) ) )
31 df-ov 6076 . . . . . . . . . 10  |-  ( i ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) j )  =  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) `  <. i ,  j >. )
32 simprl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
i  e.  M )
33 opelxpi 4902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  M  /\  j  e.  N )  -> 
<. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N
) )
3432, 33sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )
35 mamudi.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  Fin )
36 xpfi 7370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  N  e.  Fin )  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
3735, 7, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  X.  N
)  e.  Fin )
3837ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  ( M  X.  N )  e. 
Fin )
399ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  X  e.  B )
40 ffn 5583 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Y : ( M  X.  N ) --> B  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4112, 13, 403syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  Fn  ( M  X.  N ) )
4241ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  Y  Fn  ( M  X.  N
) )
43 df-ov 6076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i Y j )  =  ( Y `  <. i ,  j >. )
4443eqcomi 2439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y `
 <. i ,  j
>. )  =  (
i Y j )
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )  ->  ( Y `  <. i ,  j
>. )  =  (
i Y j ) )
4638, 39, 42, 45ofc1 6319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O
) )  /\  j  e.  N )  /\  <. i ,  j >.  e.  ( M  X.  N ) )  ->  ( (
( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) `  <. i ,  j >.
)  =  ( X 
.x.  ( i Y j ) ) )
4734, 46mpdan 650 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) `  <. i ,  j >. )  =  ( X  .x.  ( i Y j ) ) )
4831, 47syl5eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) j )  =  ( X  .x.  ( i Y j ) ) )
4948oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( ( X 
.x.  ( i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) ) )
501, 4rngass 15672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  ( X  e.  B  /\  ( i Y j )  e.  B  /\  ( j Z k )  e.  B ) )  ->  ( ( X  .x.  ( i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) )
5111, 39, 18, 24, 50syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( X  .x.  (
i Y j ) )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
5249, 51eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  j  e.  N )  ->  (
( i ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) )  =  ( X  .x.  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) )
5352mpteq2dva 4287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) )  =  ( j  e.  N  |->  ( X 
.x.  ( ( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) )
5453oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( X  .x.  (
( i Y j )  .x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
55 mamudi.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( R maMul  <. M ,  N ,  O >. )
5635adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  M  e.  Fin )
57 mamudi.o . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  O  e.  Fin )
5857adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  O  e.  Fin )
5912adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) ) )
6019adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  Z  e.  ( B  ^m  ( N  X.  O
) ) )
61 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
k  e.  O )
6255, 1, 4, 6, 56, 8, 58, 59, 60, 32, 61mamufv 27413 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( Y F Z ) k )  =  ( R 
gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j )  .x.  (
j Z k ) ) ) ) )
6362oveq2d 6089 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( X  .x.  (
i ( Y F Z ) k ) )  =  ( X 
.x.  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i Y j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) ) )
6430, 54, 633eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) j )  .x.  ( j Z k ) ) ) )  =  ( X  .x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
65 fconst6g 5624 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  B  ->  (
( M  X.  N
)  X.  { X } ) : ( M  X.  N ) --> B )
669, 65syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  N )  X.  { X } ) : ( M  X.  N ) --> B )
67 fvex 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
681, 67eqeltri 2505 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
69 elmapg 7023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  N
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  <->  ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  N ) --> B ) )
7068, 37, 69sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N
) )  <->  ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  N ) --> B ) )
7166, 70mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
721, 4rngvcl 27421 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  N
)  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) )  /\  Y  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )  ->  ( (
( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
735, 71, 12, 72syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
7473adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
)  e.  ( B  ^m  ( M  X.  N ) ) )
7555, 1, 4, 6, 56, 8, 58, 74, 60, 32, 61mamufv 27413 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z ) k )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  N  |->  ( ( i ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) j ) 
.x.  ( j Z k ) ) ) ) )
76 df-ov 6076 . . . . 5  |-  ( i ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) ) k )  =  ( ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) ) `
 <. i ,  k
>. )
77 opelxpi 4902 . . . . . . 7  |-  ( ( i  e.  M  /\  k  e.  O )  -> 
<. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
7877adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  ->  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O
) )
79 xpfi 7370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  Fin  /\  O  e.  Fin )  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8035, 57, 79syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M  X.  O
)  e.  Fin )
8180adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( M  X.  O
)  e.  Fin )
821, 5, 55, 35, 7, 57, 12, 19mamucl 27424 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
83 elmapi 7030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  ( Y F Z ) : ( M  X.  O
) --> B )
84 ffn 5583 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8582, 83, 843syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
8685adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( Y F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
87 df-ov 6076 . . . . . . . . 9  |-  ( i ( Y F Z ) k )  =  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >. )
8887eqcomi 2439 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y F Z ) `
 <. i ,  k
>. )  =  (
i ( Y F Z ) k )
8988a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( Y F Z ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( i ( Y F Z ) k ) )
9081, 10, 86, 89ofc1 6319 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
i  e.  M  /\  k  e.  O )
)  /\  <. i ,  k >.  e.  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >.
)  =  ( X 
.x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9178, 90mpdan 650 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X }
)  o F  .x.  ( Y F Z ) ) `  <. i ,  k >. )  =  ( X  .x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9276, 91syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k )  =  ( X 
.x.  ( i ( Y F Z ) k ) ) )
9364, 75, 923eqtr4d 2477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( i  e.  M  /\  k  e.  O ) )  -> 
( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k ) )
9493ralrimivva 2790 . 2  |-  ( ph  ->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k ) )
951, 5, 55, 35, 7, 57, 73, 19mamucl 27424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
96 elmapi 7030 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  ->  (
( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B )
97 ffn 5583 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( M  X.  N )  X. 
{ X } )  o F  .x.  Y
) F Z ) : ( M  X.  O ) --> B  -> 
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
9895, 96, 973syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O ) )
99 fconst6g 5624 . . . . . . 7  |-  ( X  e.  B  ->  (
( M  X.  O
)  X.  { X } ) : ( M  X.  O ) --> B )
1009, 99syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { X } ) : ( M  X.  O ) --> B )
101 elmapg 7023 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( M  X.  O
)  e.  Fin )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
10268, 80, 101sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) )  <->  ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } ) : ( M  X.  O ) --> B ) )
103100, 102mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
1041, 4rngvcl 27421 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( M  X.  O
)  X.  { X } )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  /\  ( Y F Z )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )  ->  ( (
( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) ) )
1055, 103, 82, 104syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O
) ) )
106 elmapi 7030 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  e.  ( B  ^m  ( M  X.  O ) )  ->  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X }
)  o F  .x.  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O ) --> B )
107 ffn 5583 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) : ( M  X.  O
) --> B  ->  (
( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O
) )
108105, 106, 1073syl 19 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )
109 eqfnov2 6169 . . 3  |-  ( ( ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  Fn  ( M  X.  O )  /\  ( ( ( M  X.  O )  X. 
{ X } )  o F  .x.  ( Y F Z ) )  Fn  ( M  X.  O ) )  -> 
( ( ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k ) ) )
11098, 108, 109syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( M  X.  N
)  X.  { X } )  o F 
.x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O )  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) )  <->  A. i  e.  M  A. k  e.  O  ( i
( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z ) k )  =  ( i ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) k ) ) )
11194, 110mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( M  X.  N )  X.  { X }
)  o F  .x.  Y ) F Z )  =  ( ( ( M  X.  O
)  X.  { X } )  o F 
.x.  ( Y F Z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    \ cdif 3309   {csn 3806   <.cop 3809   <.cotp 3810    e. cmpt 4258    X. cxp 4868    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716   Ringcrg 15652   maMul cmmul 27407
This theorem is referenced by:  matassa  27449
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-ot 3816  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-mamu 27409
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